Рао - блэкуэлла - колмогорова теорема

- утверждение из теории статистич. оценивания, на основе к-рого построен метод улучшения несмещенных статистич. оценок. Пусть X - случайная величина, принимающая значения в выборочном пространстве [img: http://localhost:8080/file/041866-124.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041866-125.jpg], причем семейство вероятностных распределений [img: http://localhost:8080/file/041866-126.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041866-127.jpg] обладает достаточной статистикой Т=Т (Х), и пусть j = j(Х) - нек-рая векторная статистика с конечной матрицей вторых моментов. В этом случае математич. ожидание [img: http://localhost:8080/file/041866-128.jpg] статистики j существует и, кроме того, условное математич. ожидание [img: http://localhost:8080/file/041866-129.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041866-130.jpg] является несмещенной оценкой для [img: http://localhost:8080/file/041866-131.jpg], то есть [img: http://localhost:8080/file/041866-132.jpg] В этих условиях Р.- Б.- К. т. утверждает, что квадратичный риск статистики j* не превосходит квадpaтичного риска статистики j равномерно по всем [img: http://localhost:8080/file/041866-133.jpg] т. е. для любого вектора z, имеющего ту же размерность, что и статистика j, выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/041866-134.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/041866-135.jpg]. В частности, когда j является одномерной статистикой, то при любом [img: http://localhost:8080/file/041866-136.jpg] дисперсия [img: http://localhost:8080/file/041866-137.jpg] статистики j* не превосходит дисперсии [img: http://localhost:8080/file/041866-138.jpg] статистики j В самом общем случае Р.- Б.- К. т. утверждает, что операция осреднения по достаточной статистике не приводит к увеличению риска относительно произвольной выпуклой функции потерь, откуда следует, что хорошие статистич. оценки нужно искать только в терминах достаточных статистик, т. е. в классе необходимых статистик. В случае, когда семейство [img: http://localhost:8080/file/041866-139.jpg] является полным, т. е. когда единственной несмещенной оценкой нуля является функция, почти всюду равная нулю, несмещенная оценка с равномерно минимальным риском, получаемая с помощью Р.- Б.- К. т., является единственной. Таким образом, Р.- Б.- К. т. дает рецепт построения наилучших несмещенных оценок: нужно взять любую несмещенную оценку, а затем осреднить ее по достаточной статистике. Именно таким образом в следующем примере, принадлежащем А. Н. Колмогорову, строится наилучшая несмещенная оценка функции распределения нормального закона. П р и м е р. Пусть по реализации случайного вектора Х= (Х 1,..., Х n), компоненты к-рого Xi, i=l, 2,..., п, [img: http://localhost:8080/file/041866-140.jpg], суть независимые случайные величины, подчиняющиеся одному и тому же нормальному закону [img: http://localhost:8080/file/041866-141.jpg], следует оценить функцию распределения [img: http://localhost:8080/file/041866-142.jpg] Предполагается, что параметры [img: http://localhost:8080/file/041866-143.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041866-144.jpg] неизвестны. Так как семейство [img: http://localhost:8080/file/041866-145.jpg] нормальных законов является полным и существует достаточная статистика [img: http://localhost:8080/file/041866-146.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041866-147.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041866-148.jpg] то для построения наилучшей несмещенной оценки функции распределения [img: http://localhost:8080/file/041866-149.jpg] следует воспользоваться Р.- Б.- К. т. В качестве исходной статистики j можно взять, напр., функцию эмпирич. распределения, построенную по какой-то одной компоненте вектора X, напр. Х 1 то есть [img: http://localhost:8080/file/041866-150.jpg] к-рая является тривиальной несмещенной оценкой для [img: http://localhost:8080/file/041866-151.jpg], так [img: http://localhost:8080/file/041866-152.jpg] как Осреднение оценки j по достаточной статистике Тприводит к оценке [img: http://localhost:8080/file/041866-153.jpg] (1) В силу того что статистика [img: http://localhost:8080/file/041866-154.jpg] являющаяся дополнительной к достаточной статистике Т. имеет равномерное распределение на (n-2)-мерной сфере радиуса n и, следовательно, не зависит ни от неизвестных параметров [img: http://localhost:8080/file/041866-155.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041866-156.jpg], ни от достаточной стати- стики Т, то [img: http://localhost:8080/file/041866-157.jpg] тоже не зависит от [img: http://localhost:8080/file/041866-158.jpg] и Т, причем [img: http://localhost:8080/file/041866-159.jpg] (2) где [img: http://localhost:8080/file/041866-160.jpg] (3) - функция распределения Томпсона с f степенями свободы. Таким образом, из (1)-(3) следует, что наилучшей несмещенной оценкой для [img: http://localhost:8080/file/041866-161.jpg], построенной по пнезависимым наблюдениям Х 1,..., Х n, является [img: http://localhost:8080/file/041866-162.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041866-163.jpg] - функция распределения Стьюдента с f степенями свободы.