Рао - крамера неравенство

н е р а в е нс т в о Ф р е ш е, н е р а в е н с т в о и н ф о р м а ц и и,- неравенство в математич. статистике, устанавливающее нижнюю границу риска в задаче статистич. оценивания неизвестного параметра относительно квадратичной функции потерь. Пусть распределение вероятностей случайного вектора X=(X1,..., Х n), принимающего значения в n-мерном евклидовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/041866-164.jpg], задается плотностью вероятности [img: http://localhost:8080/file/041866-165.jpg], и пусть в качестве оценки неизвестного скалярного параметра q Используется статистика Т= Т(X).такая, что [img: http://localhost:8080/file/041866-166.jpg] где b(q) - нек-рая дифференцируемая функция, называемая с м е щ е н и е м статистики Т. В таком случае при определенных условиях регулярности семейства [img: http://localhost:8080/file/041866-167.jpg], одно из к-рых заключается н отличии от нуля и н ф о р м а ц и о н н о г о к о л и ч е с т в а Ф иш е р а [img: http://localhost:8080/file/041866-168.jpg] имеет место н е р а в е н с т в о Р а о - К р а м е р а [img: http://localhost:8080/file/041866-169.jpg] (1) устанавливающее нижнюю границу для среднеквадратичной ошибки [img: http://localhost:8080/file/041866-170.jpg] всех оценок Тнеизвестного параметра q, имеющих одну и ту же функцию смещения b(q). В частности, если статистика Тявляется несмещенной оценкой параметра q, то есть [img: http://localhost:8080/file/041866-171.jpg], то из (1) следует, что [img: http://localhost:8080/file/041866-172.jpg] (2) Таким образом, в этом случае Р.- К. н. показывает нижнюю границу для дисперсий несмещенных оценок Тпараметра q, к-рая равна [img: http://localhost:8080/file/041866-173.jpg], и, кроме того, Р.- К. н. демонстрирует, что существование состоятельных оценок связано с неограниченным ростом информационного количества Фишера I(q) при [img: http://localhost:8080/file/041866-174.jpg]. В случае если в Р.- К. н. (2) достигается равенство для какой-то Несмещенной оценки Т, то она является наилучшей в смысле минимума квадратичного риска в классе всех несмещенных оценок и наз. э ф ф е к т и в н о й о ц е н к о й. Напр., если Х 1, Х2,..., Х п- независимые случайные величины, подчиняющиеся одному и тому же нормальному закону N (q, 1), то статистика [img: http://localhost:8080/file/041866-175.jpg] является эффективной оценкой неизвестного математич. ожидания q. В общем случае равенство в (2) достигается тогда и только тогда, когда семейство [img: http://localhost:8080/file/041866-176.jpg] является экспоненциальным, т. е. плотность вероятности случайного вектора Xпредставима в виде [img: http://localhost:8080/file/041866-177.jpg] причем эффективной оценкой для параметра q в этом случае является достаточная статистика T=j(X). В тех случаях, когда эффективные оценки не существуют, нижнюю границу дисперсий несмещенных оценок следует уточнять в силу того, что Р.- К. н. дает лишь нижнюю границу, к-рая не обязательно является точной нижней границей. Напр., если Х 1,..., Х n- независимые случайные величины, подчиняющиеся одному и тому же нормальному закону [img: http://localhost:8080/file/041866-178.jpg], то нижней границей для дисперсий несмещенных оценок параметра аявляется [img: http://localhost:8080/file/041866-179.jpg] в то время как [img: http://localhost:8080/file/041866-180.jpg] Вообще, если в Р.- К. н. (2) равенство не достигается, то это не означает, что найденная оценка не является наилучшей, т. к. она может оказаться единственной несмещенной оценкой. Существуют различные обобщения Р.- К. н. на случай векторного параметра, а также на случай, когда оценивается неизвестная функция от этого параметра. Именно в этих случаях большую роль играют уточнения нижней границы в Р.- К. н. Неравенство (1) было получено независимо друг от друга М. Фреше (М. Frechet), Рао (С. R. Rao), Г. Крамером (Н. Cramer).