Распределение простых чисел

- раздел теории чисел, в к-ром изучаются закономерности распределения простых чисел (п. ч.) среди натуральных чисел. Центральной является проблема наилучшего асимптотич. выражения при [img: http://localhost:8080/file/041867-25.jpg] функции p(х), обозначающей число п. ч., не превосходящих х, а также функции p(х; d, l), обозначающей число п. ч., не превосходящих хв арифметич. прогрессии dn+l при [img: http://localhost:8080/file/041867-26.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041867-27.jpg], для растущих вместе с хзначений d. О с н о в н а я т е о р е м а а р и ф м е т и к и: каждое натуральное число n>1 является или п. ч. или единственным (с точностью до перестановки сомножителей) произведением п. ч. [img: http://localhost:8080/file/041867-28.jpg] (т. н. к а н о н и ч е с к о е п р е д с т а в л е н и е числа п), где [img: http://localhost:8080/file/041867-29.jpg] - различные п. ч., n1,......, [img: http://localhost:8080/file/041867-30.jpg] - натуральные числа. Таким образом, п. ч. есть базис мультипликативного построения ряда натуральных чисел, это, однако, непосредственно ничего не говорит о величине p(х). Для нахождения п. ч. от 1 до хслужит известный с 3 в. до н. э. метод Эратосфена решета. Решето Эратосфена является простейшей процедурой получения последовательности п. ч. Однако аналитич. ормула решета [img: http://localhost:8080/file/041867-31.jpg] где dпробегает делители произведения всех п. ч. [img: http://localhost:8080/file/041867-32.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041867-33.jpg] - число простых делителей [img: http://localhost:8080/file/041867-34.jpg] - целая часть и, непригодна для изучения p (х).при [img: http://localhost:8080/file/041867-35.jpg] Рассмотрение последовательности п. ч. от 1 до х:2,3, 5, 7, 11, 14,..., р(1) показывает, что с увеличением x она становится в среднем все более редкой. Существуют сколь угодно длинные отрезки ряда натуральных чисел, среди к-рых нет ни одного п. ч. Напр., п-1 натуральных чисел вида п!+2,..., п!+п для любого [img: http://localhost:8080/file/041867-36.jpg] являются составными числами. В то же время в (1) встречаются п. ч. такие, как 8004119 и 8004121, разность между к-рыми равна 2 (п. ч.- близнецы). Проблема поведения p(x) при [img: http://localhost:8080/file/041867-37.jpg] является одной из наиболее трудных и интересных проблем теории чисел. Первый результат о величине p(х).-т е о р е м а Е в к л и д а: [img: http://localhost:8080/file/041867-38.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041867-39.jpg]. Л. Эйлер (L. Еu1ег, 1737, 1749, см. [1]) ввел функцию [img: http://localhost:8080/file/041867-40.jpg] (2) и показал, что при [img: http://localhost:8080/file/041867-41.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041867-42.jpg] (3) где ряд распространяется на все натуральные числа, а произведение на все п. ч. Тождество (3) и его обобщения играют фундаментальную роль в теории Р. п. ч. Исходя из него, Л. Эйлер доказал, что ряд [img: http://localhost:8080/file/041867-43.jpg] и произведение по простым ррасходятся. Это - новое доказательство [img: http://localhost:8080/file/041867-44.jpg] бесконечности числа п. ч. Более того, Л. Эйлер установил, что п. ч. "много", ибо [img: http://localhost:8080/file/041867-45.jpg] и, в то же время, почти все натуральные числа являются составными, т. к. [img: http://localhost:8080/file/041867-46.jpg] Далее значительного успеха достиг П. Л. Чебышев (1851-52, см. [2]). Он доказал, что: 1) для любых т>0, М>0 есть последовательности [img: http://localhost:8080/file/041867-47.jpg], для к-рых [img: http://localhost:8080/file/041867-48.jpg] 2) если существует предел частного [img: http://localhost:8080/file/041867-49.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041867-50.jpg], то он равен 1. Тем самым впервые был решен вопрос о существовании простой функции [img: http://localhost:8080/file/041867-51.jpg] к-рая служит наилучшим приближением для p(х). Затем П. Л. Чебышев установил истинный порядок роста p(х), т. е. существование постоянных а>0, А>0 таких, что [img: http://localhost:8080/file/041867-52.jpg] (4) причем, а=0,92..., А=1,05... для [img: http://localhost:8080/file/041867-53.jpg]. Он же доказал, что при любом [img: http://localhost:8080/file/041867-54.jpg] в интервале (п, 2п).содержится по крайней мере одно п. ч. (п о с т у л а т Б е р т р а н а). В основе вывода неравенств (4) лежит т о ж д е с т в о Ч е б ы ш е в а [img: http://localhost:8080/file/041867-55.jpg] (5) в к-ром введенная П. Л. Чебышевым функция y определяется суммой по степеням р т, m=1, 2,..., п. ч. р: [img: http://localhost:8080/file/041867-56.jpg] Именно, комбинация [img: http://localhost:8080/file/041867-57.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/041867-58.jpg] в форме [img: http://localhost:8080/file/041867-59.jpg] вследствие (5), дает тождество [img: http://localhost:8080/file/041867-60.jpg] из к-рого следует, что [img: http://localhost:8080/file/041867-61.jpg] Отсюда, вследствие асимптотич. формулы Стирлинга для n, вытекает аналог неравенств (4) для y(x), из к-рых частичным суммированием получаются неравенства (4). Функция Чебышева y (х)оказалась более удобной, чем p(х), при изучении Р. п. ч., поскольку наилучшим приближением ее является сам аргумент х. По-этому обычно сначала рассматривают y (х), а затем частичным суммированием получают соответствующий результат для p(х). Принцип Римана. В 1859-60 Б. Риман (В. Riemann, см. [3]) рассмотрел введенную Л. Эйлером для s>l функцию [img: http://localhost:8080/file/041867-62.jpg] как функцию комплексного переменного [img: http://localhost:8080/file/041867-63.jpg], где s, t - действительные переменные, определяемую рядом (2) при s>1 (см. Дзета-функция), и обнаружил исключительную важность этой функции для теории Р. п. ч. В частности, он указал выражение разности p(х)- li хчерез хи нули функции [img: http://localhost:8080/file/041867-64.jpg], лежащие в полосе [img: http://localhost:8080/file/041867-65.jpg], к-рые наз. н е т р и в и а л ьн ы м и н у л я м и ф у н к ц и и z,(s). Вместо формулы Римана обычно используется более простой конечный ее аналог для y(x), доказанный (наряду с формулой Римана) X. Мангольдтом (Н. Маngoldt, 1895). Именно, для x>1 [img: http://localhost:8080/file/041867-66.jpg] (6) где r=b+ig пробегает нетривиальные нули [img: http://localhost:8080/file/041867-67.jpg], Т - любое [img: http://localhost:8080/file/041867-68.jpg] Поскольку [img: http://localhost:8080/file/041867-69.jpg] формула (6) показывает, что величина разности y(x)-x в главном определяется величиной b (действительной частью самых правых нулей r). В частности, если [img: http://localhost:8080/file/041867-70.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041867-71.jpg] правее вертикали s=q, [img: http://localhost:8080/file/041867-72.jpg], для функций y(x), p(x) справедливы следующие асимптотич. выражения: [img: http://localhost:8080/file/041867-73.jpg] Наоборот, из этих соотношений следует, что [img: http://localhost:8080/file/041867-74.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/041867-75.jpg]. Если справедлива гипотеза Римана, т. [img: http://localhost:8080/file/041867-78.jpg] Причем эти соотношения существенно усилить нельзя, т. е. существуют последовательности [img: http://localhost:8080/file/041867-79.jpg] такие, что [img: http://localhost:8080/file/041867-80.jpg] Таким образом, согласно принципу Римана проблема асимптотич. выражения функции Р. п. ч. y(x), p(х). сводится к проблеме границы действительной части нетривиальных нулей функции [img: http://localhost:8080/file/041867-81.jpg]. До сих пор (1983), однако, не удалось найти какое-либо постоянное q, [img: http://localhost:8080/file/041867-82.jpg], с условием [img: http://localhost:8080/file/041867-83.jpg]. Искомая граница для b оказывается связанной с мнимой частью g нулей r, причем так, что прямая s=1 является для нее асимптотой. Методы Адамара и Валле Пуссена. Асимптотич. закон Р. п. ч. в простейшем виде [img: http://localhost:8080/file/041868-1.jpg] был получен в 1896 независимо Ж. Адамаром (J. Hadamard) и Ш. Bалле Пуссеном (Ch. La Vallee Poussin), к-рые доказали, что [img: http://localhost:8080/file/041868-2.jpg], т. е. что на прямой s=-1 нет нулей функции [img: http://localhost:8080/file/041868-3.jpg]. В 1899 Ш. Bалле Пуссен показал, что [img: http://localhost:8080/file/041868-4.jpg] (s+it)№0 в области [img: http://localhost:8080/file/041868-5.jpg] Тем самым было доказано, что [img: http://localhost:8080/file/041868-6.jpg] при постоянных a>0, b>0. Были получены также дальнейшие расширения области свободной от нулей функции z(s) (см. [4] - [12]). Метод Вейля - Литлвуда. Существует определенная связь между ростом модуля функции z(s) и ее нулями вблизи прямой s=1. Именно, если [img: http://localhost:8080/file/041868-7.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041868-8.jpg], где j (t),1/q (t) - положительные неубывающие функции [img: http://localhost:8080/file/041868-9.jpg] такие, что [img: http://localhost:8080/file/041868-10.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041868-11.jpg], то существует постоянная Атакая, что z(s)№0 в области [img: http://localhost:8080/file/041868-12.jpg] При этом для оценки z(s) используется частная сумма ее ряда (2), к-рая сводит вопрос к оценке тригонометрич. сумм вида [img: http://localhost:8080/file/041868-13.jpg] За счет оценок таких сумм по Вейля методу Дж. Литлвуд (J. Littlewood, 1921) показал, что для [img: http://localhost:8080/file/041868-14.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041868-15.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041868-16.jpg] и, следовательно, z(s)№0 в области Отсюда [img: http://localhost:8080/file/041868-17.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041868-18.jpg] Метод Виноградова. Дальнейший прогресс в оценках p(x), y(x). связан с созданием И. М. Виноградовым (см. Виноградова метод).нового, значительно более мощного метода оценок тригонометрич. сумм. При помощи этого метода им в 1938 было доказано, что z(s)№0. при [img: http://localhost:8080/file/041868-19.jpg] и соответственно что [img: http://localhost:8080/file/041868-20.jpg] В 1858 И. М. Виноградов и другие (см. [6] -[11]) показали, что z(s)№0 при [img: http://localhost:8080/file/041868-21.jpg] Это пока (1983) лучший результат о границе нетривиальных нулей функции z(s), к-рому отвечает лучший результат в Р. п. ч.: [img: http://localhost:8080/file/041868-22.jpg] Из асимптотики p(х)следует асимптотика n-го простого числа [img: http://localhost:8080/file/041868-23.jpg]. Показано (см. [21]) также, что р n> >n log nдля всех [img: http://localhost:8080/file/041868-24.jpg] и что для [img: http://localhost:8080/file/041868-25.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041868-26.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/041868-27.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041868-28.jpg] Элементарные методы. Так называют методы изучения асимптотич. закона Р. п. ч., не опирающиеся на принцип Римана (нули дзета-функции) и, вообще, на какие бы то ни было положения теории функций комплексного переменного. Впервые такой метод открыли в 1948 А. Сельберг [16] и П. Эрдёш [17]. В основе лежит элементарная ф о р м у л а С е л ь б е р г а [img: http://localhost:8080/file/041868-29.jpg] (7) Дальнейшая задача состоит в том, чтобы из асимптотики в среднем для [img: http://localhost:8080/file/041868-30.jpg] в виде (7) вывести асимптотику [img: http://localhost:8080/file/041868-31.jpg] Это можно сделать по-разному, но общим во всех случаях является использованием факта медленного колебания функции [img: http://localhost:8080/file/041868-32.jpg] (см. [18]). В 1962 Э. Бомбьери (Е. Воmbieri) и Э. Вирзинг (Е. Wirsing) доказали, что при любом фиксированном А>0 [img: http://localhost:8080/file/041868-33.jpg] В 1970 X. Дайамонд и Дж. Стейниг (см. [19]) существенно усовершенствовали идею и технику оценок элементарного метода и доказали, что для [img: http://localhost:8080/file/041868-34.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041868-35.jpg] Наконец, в 1973 А. Ф. Лаврик и А. Ш. Собиров [20] показали, что при элементарном методе доказательства справедлива теорема: для [img: http://localhost:8080/file/041868-36.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041868-37.jpg] Этот результат представляет пока лучшее достижение элементарного метода в изучении Р. п. ч., хотя он несколько слабее того, к-рый получен аналитич. методом, в принципе эти результаты близки между собой. Разность между простыми числами. Существует много вопросов Р. п. ч., касающихся разности между п. ч. Среди них выделяются вопросы поведения [img: http://localhost:8080/file/041868-38.jpg] - [img: http://localhost:8080/file/041868-39.jpg] разности между соседними п. ч.; проблема количества п. ч. близнецов, или, более общо, пар п. ч. разности 2k и, вообще, числа систем р, p+ul..., р+и т из m+1 п. ч., лежащих на отрезке [1, х]. Спомощью гипотезы Римана доказано, что [img: http://localhost:8080/file/041868-40.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041868-41.jpg], а нек-рые эвристич. рассуждения показывают, что, вероятно, справедлива оценка [img: http://localhost:8080/file/041868-42.jpg] Лучшей к 1983 является оценка [img: http://localhost:8080/file/041868-43.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041868-44.jpg], e>0, полученная М. Н. Хаксли (М. N. Huxley, 1973) по методу большого решета. Что касается пар п. ч. разности, равной 2 (близнецов), или разности, равной 2k, k=1,2,..., то до сих пор (1983) неизвестно, является количество их бесконечным или нет. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041868-45.jpg] есть число пар п. ч., не превосходящих х, разности 2k. В1919 В. Брун (V. Вrun) нашел метод решета (см. Вруна решето), к-рый позволил получить ожидаемую оценку сверху для [img: http://localhost:8080/file/041868-46.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/041868-47.jpg] Кроме этого, за счет оценок И. М. Виноградова тригонометрич. сумм с п. ч. (см. Виноградова метод).доказано круговым методом (см. [13]), что если положить [img: http://localhost:8080/file/041868-48.jpg] то при любых фиксированных А>1, М>0 [img: http://localhost:8080/file/041868-49.jpg] Отсюда, в частности, следует, что при Х = хlog - Ax. для всех [img: http://localhost:8080/file/041868-50.jpg], исключая не более [img: http://localhost:8080/file/041868-51.jpg] из них, [img: http://localhost:8080/file/041868-52.jpg] имеет асимптотич. выражение в виде [img: http://localhost:8080/file/041868-53.jpg] Аналогичные результаты получены для систем п. ч. [img: http://localhost:8080/file/041868-54.jpg] при любом [img: http://localhost:8080/file/041868-55.jpg] Простые числа арифметической прогрессии. Первый способ (Евклида) доказательства бесконечности числа п. ч. можно перенести и на нек-рые арифметич. прогрессии. Но доказать таким путем, что в каждой арифметич. прогрессии dn+l, первый член к-рой l и разность dвзаимно просты, содержится бесконечно много п. ч., до сих пор (1983) не удалось. Задачу другим методом решил П. Дирихле (P. Dirichlet, 1837-40), распространив идею Л. Эйлера о том, что [img: http://localhost:8080/file/041868-56.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041868-57.jpg] на п. ч. [img: http://localhost:8080/file/041868-58.jpg]. Для этого он ввел арифметич. функции - характеры c=c(n, d) (см. Дирихле характер).и функции L(s,c). (см. Дирихле L-функция), которые подобно функции z(s) для p(х), y (х)служат в качестве основного аппарата изучения функции p (х; d, l)и ее аналога [img: http://localhost:8080/file/041868-59.jpg] В случае фиксированного значения [img: http://localhost:8080/file/041868-60.jpg], большинство результатов, указанных выше для p(x) y(х), перенесены и на функции p(х; d, l)и y (х; d, l). Однако особый интерес здесь представляют результаты для растущих вместе с хзначений d, к-рые важны в аддитивной теории чисел и ряде других задач. В таком случае возникают значительные дополнительные трудности, связанные прежде всего с оценкой величины d - наибольшего действительного нуля функции L(s,c) по mod d. При помощи Пейджа теорем доказано, что для [img: http://localhost:8080/file/041868-61.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041868-62.jpg] а вследствие оценки К. Зигеля (К. Siegel, 1935) для любого фиксированного А>1 при [img: http://localhost:8080/file/041868-63.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041868-64.jpg] где j(d) - функция Эйлера, а- положительная постоянная, с 1=с 1(A) - неэффективная постоянная >0, то есть c1 не может быть вычислена по заданному А. Если справедлива расширенная Римана гипотеза, то для [img: http://localhost:8080/file/041868-65.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041868-66.jpg] Таким образом, к 1983 доказано, что п. ч. равномерно распределены по всем j(d)прогрессиям [img: http://localhost:8080/file/041868-67.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041868-68.jpg], разности dлишь при [img: http://localhost:8080/file/041868-69.jpg]. Что же касается отрезков прогрессий [img: http://localhost:8080/file/041868-70.jpg] разности, напр. d=xe с каким бы то ни было постоянным e>0, то из предыдущего не следует даже, что такая прогрессия содержит хотя бы одно п. ч. l Метод решета Бруна, как и его модификация, предложенная А. Сельбергом в 1947, показывает, что для всех [img: http://localhost:8080/file/041868-71.jpg], имеет место неравенство сверху [img: http://localhost:8080/file/041868-72.jpg] с абсолютной константой [img: http://localhost:8080/file/041868-73.jpg], но никаких оценок снизу для p(х; d, l)эти методы дать но могут. Выражение для y (х; d, l)no принципу Римана через нули r=b+ig лежащие в полосе [img: http://localhost:8080/file/041868-74.jpg] функции L(s, c), имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041868-75.jpg] где штрих у суммы - знак суммирования по комплексным c mod d, a - действительный нуль функции L(s,c), если он существует и больше [img: http://localhost:8080/file/041868-76.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041868-77.jpg] Т- любое [img: http://localhost:8080/file/041868-78.jpg] Из (8) видно, если не считать слагаемого, отвечающего а, что остаточный член асимптотики y (x; d, l)определяется величиной двойной суммы, зависящей и от действительной части нулей r и от количества всех L(s, c) с c mod d, имеющих нули [img: http://localhost:8080/file/041868-79.jpg]. Если для [img: http://localhost:8080/file/041868-80.jpg] через N (s, T, c) обозначить число нулей функции L(s, c) в прямоугольнике: [img: http://localhost:8080/file/041868-81.jpg], то вопросы оценки остаточного члена для y (х; d, l)и его среднего значения сводятся к вопросам оценки плотности распределения нулей L-функций в виде [img: http://localhost:8080/file/041868-82.jpg] (9) Таким образом, понижение разного рода оценок для п. ч. связывается не только с отсутствием нулей L (s, c) в критич. полосе, но и с сравнительно редким их распределением здесь. Реализация этой идеи была одним из центральных направлений исследований Р. п. ч. последних 40 лет. Начало положил Ю. В. Линник открытием в 1941 метода большого решета (см. [22], а также [14], [15], [24]). Особо важными являются теоремы о наименьшем п. ч. в арифметической прогрессии, о поведении p (х; d, l)и y (х; d, l)в среднем по [img: http://localhost:8080/file/041868-83.jpg] и о двойном усреднении этих функций по [img: http://localhost:8080/file/041868-84.jpg], и [img: http://localhost:8080/file/041868-85.jpg]. Именно, в 1944 Ю. В. Линник [23] показал, что при [img: http://localhost:8080/file/041868-86.jpg] сумма N1 в (9) имеет оценку [img: http://localhost:8080/file/041868-87.jpg], где а - постоянная; отсюда он вывел существование постоянной стакой, что любая арифметич. прогрессия dn+l, где [img: http://localhost:8080/file/041868-88.jpg], содержит п. ч., меньшее dc. Последняя к 1983 оценка постоянной Линника имеет вид с=17; а если верна плотностная гипотеза: [img: http://localhost:8080/file/041868-89.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041868-90.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041868-91.jpg] В 1965 А. И. Виноградов и Э. Бомбьери независимо получили сильные оценки сумм N2 из (9). Более совершенствованный метод оценки этих сумм разработал Г. Монтгомери (Н. Montgomery, 1969). Одним из следствий оценок N2 является следующий результат о Р. п. ч. в арифметич. прогрессиях в среднем: [img: http://localhost:8080/file/041868-92.jpg] при любом постоянном [img: http://localhost:8080/file/041868-93.jpg]. Эти оценки существенно усилить уже нельзя, т. к. из расширенной гипотезы Римана следует, что B = A + 2. Другие вопросы распределения простых чисел. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041868-94.jpg] есть количество чисел вида [img: http://localhost:8080/file/041868-95.jpg], к-рые являются произведением простых n чисел. X. Рихерт (Н. Pichert, 1953) доказал, что [img: http://localhost:8080/file/041868-96.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041868-97.jpg] определяется рядами, зависящими от h, m, d и n. Э. Ландау (Е. Landau, 1903-1918) перенес нек-рые результаты Р. п. ч. на алгебраические числовые поля. Пусть К - алгебраическое числовое поле n-й степени, p (х; К) - есть число простых идеалов с нормой [img: http://localhost:8080/file/041868-98.jpg] в К. Тогда [img: http://localhost:8080/file/041868-99.jpg] где с - абсолютная положительная постоянная, и [img: http://localhost:8080/file/041868-100.jpg] где W - отрицание символа о (малое). Много изучалась функция F(x, у), обозначающая число натуральных чисел [img: http://localhost:8080/file/041868-101.jpg], не содержащих простых делителей, меньших у. Для [img: http://localhost:8080/file/041868-102.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041868-103.jpg], такие числа наз. к в а з и п р о с т ы м и ч и с л а м и. Методом решета для этих чисел получена достаточно полная теория их распределения, аналогичная ожидаемой теории Р. п. ч. Рассматривалось также распределение чисел с малыми простыми делителями (см. [25]).