Распределение степенных вычетов и невычетов

- распределение среди чисел 1, 2,..., т-1 тех значений х, для к-рых сравнение [img: http://localhost:8080/file/041868-104.jpg] n>1 - целое, разрешимо (неразрешимо). В вопросах, связанных с Р. с. в. и н., наиболее полно изучен случай простого модуля р. Пусть q=(п, р -1). Тогда сравнение yn=x(mod р). разрешимо при [img: http://localhost:8080/file/041868-105.jpg] значениях хиз множества 1, 2,..., р-1 и неразрешимо при остальных [img: http://localhost:8080/file/041868-106.jpg] значениях х(см. Двучленное сравнение). Однако сравнительно немного известно о том, как расположены эти значения среди чисел 1, 2,..., р-1. Первые результаты о распределении степенных вычетов были получены еще К. Гауссом (С. Gauss, см. [1]) в 1706. С того времени и до работ И. М. Виноградова в вопросах о Р. с. в. и н. были получены лишь отдельные частные результаты. В 1915 И. М. Виноградов (см. [2]) доказал ряд общих результатов о распределении степенных вычетов и невычетов, а также первообразных корней но модулю рсреди чисел 1, 2,..., р. В частности, им была получена оценка [img: http://localhost:8080/file/041868-107.jpg] для наименьшего квадратичного невычета Nmin и оценка [img: http://localhost:8080/file/041868-108.jpg] где k - число различных простых делителей р-1, для наименьшего первообразного корня [img: http://localhost:8080/file/041868-109.jpg] по простому модулю р. Кроме того, И. М. Виноградовым был высказан ряд гипотез о распределении квадратичных вычетов и невычетов (см. Виноградова гипотезы), стимулировавших ряд исследований в этой области. Так, Ю. В. Линник [3] доказал, что при достаточно большом Nна отрезке [Ne, N] количество простых чисел р, для к-рых Nmin>pe, не превосходит нек-рой константы С(e), зависящей лишь от e>0. Таким образом, простые числа р, для к-рых Nmin>pe, если только они существуют, встречаются очень редко. Другим существенным шагом в исследовании гипотез Виноградова явилась теорема Д. Бёрджесса [4]: для любого фиксированного сколь угодно малого [img: http://localhost:8080/file/041868-110.jpg] максимальное расстояние d(p).между соседними квадратичными невычетами удовлетворяет неравенству [img: http://localhost:8080/file/041868-111.jpg] Отсюда, в частности, следует оценка [img: http://localhost:8080/file/041868-112.jpg] В этих неравенствах константы [img: http://localhost:8080/file/041868-113.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041868-114.jpg] зависят только от [img: http://localhost:8080/file/041868-115.jpg] и не зависят от р. Доказательство теоремы Бёрджесса, сложное само по себе, основывалось на теореме Хассе - Вейля о числе решений гиперэллиптич. сравнения [img: http://localhost:8080/file/041868-116.jpg] доказательство к-рой требовало привлечения аппарата абстрактной алгебраич. геометрии. Простой вывод теоремы Бёрджесса см. в [5], [6].