Распределений тип

- совокупность распределений вероятностей случайных величин, получаемых одна из другой каким-либо линейным преобразованием. Точное определение в одномерном случае таково: распределения вероятностей случайных величин X1 и Х 2 называют однотипными, если существуют постоянные Аи В>0 такие, что распределения величин Х 2 и BX1+A совпадают. Соответствующие функции распределения связаны при этом соотношением [img: http://localhost:8080/file/041868-177.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041868-178.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041868-179.jpg] Таким образом, множество функций распределения разбивается на попарно непересекающиеся типы. При этом, напр., все нормальные распределения образуют один тип, все равномерные распределения также образуют один тип. Понятие типа широко используется в предельных теоремах теории вероятностей. Распределение сумм Sn независимых случайных величин часто "неограниченно расплываются" при [img: http://localhost:8080/file/041868-180.jpg] и сходимость к предельному распределению (например, к нормальному) оказывается возможной только после линейной "нормировки", т. е. для сумм [img: http://localhost:8080/file/041868-181.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041868-182.jpg] - нек-рые константы, [img: http://localhost:8080/file/041868-183.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041868-184.jpg]. При этом если для каких-либо случайных величин Х n распределения величин [img: http://localhost:8080/file/041868-185.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041868-186.jpg] сходятся к невырожденным предельным распределениям, то эти последние обязательно однотипны. Поэтому можно дать следующее определение сходимости типов (А. Я. Хинчин, 1938). Пусть Т(F) - тип, к-рому принадлежит функция распределения F(из дальнейшего изложения исключается вырожденный тип - тип, к-рому принадлежат вырожденные распределения). Говорят, что последовательность типов Т п сходится к типу Т, если существует последовательность функций распределения [img: http://localhost:8080/file/041868-187.jpg], сходящаяся (слабо) к функции распределения [img: http://localhost:8080/file/041868-188.jpg].Топологизированное таким образом множество типов есть хаусдорфово нерегулярное пространство и, следовательно, неметризуемо (В. Дёблин, W. Doeblin, 1939). Пусть, теперь, Sn - суммы независимых одинаково распределенных случайных величин и F п - соответствующие функции распределения. Тогда класс типов, предельных для Т(F п), совпадает с классом всех устойчивых типов, т. е. таких типов, что из [img: http://localhost:8080/file/041868-189.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041868-190.jpg] вытекает, что свертка F1 и F'2 принадлежит Т(т. е., иными словами, сумма двух независимых случайных величин с распределениями типа Тснова имеет тип Т, см. Устойчивое распределение). Понятие Р. т. может быть распространено на многомерный случай. Однако это распространение неоднозначно. Выбирая какую-либо подгруппу Gполной группы матриц, можно получить соответствующее понятие Р. т. Случайные векторы Х 1 и Х 2 со значениями из [img: http://localhost:8080/file/041868-191.jpg] называют G-однотипными, если существует такое преобразование [img: http://localhost:8080/file/041868-192.jpg], что X2 и gX1 имеют одно и то же распределение. Соответственно можно ввести понятие G-устойчивости Р. т. По отношению к полной группе матриц устойчивы только нормальные распределения (Г. Сакович, 1960).