Распределения функция

к а к о й - л и б о с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы X - функция действительного переменного х, принимающая при каждом хзначение, равное вероятности неравенства Х<x. Каждая Р. ф. F(х)обладает следующими свойствами: 1) [img: http://localhost:8080/file/041869-35.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041869-36.jpg]; 2) F(х)непрерывна слева при каждом х; 3) [img: http://localhost:8080/file/041869-37.jpg] (иногда Р. ф. определяют как вероятность неравенства [img: http://localhost:8080/file/041869-38.jpg], и тогда она оказывается непрерывной справа). В математич. анализе Р. ф. называют любую функцию, для к-рой имеют место свойства 1) - 3). Существует взаимно однозначное соответствие между распределениями вероятностей Р F на s-алгебре [img: http://localhost:8080/file/041869-39.jpg] борелевских подмножеств числовой прямой [img: http://localhost:8080/file/041869-40.jpg] и Р. ф. Это соответствие определяется формулой: для любого интервала [a, b) [img: http://localhost:8080/file/041869-41.jpg] Каждая функция F, обладающая свойствами 1)-3), может рассматриваться как Р. ф. нек-рой случайной величины X(напр., случайной величины X(x) = x, заданной на вероятностном пространстве [img: http://localhost:8080/file/041869-42.jpg] Всякая Р. ф. может быть однозначно представлена в виде суммы [img: http://localhost:8080/file/041869-43.jpg] где a1, а 2, а3 - неотрицательные числа, сумма к-рых равна 1, а F1, F2, F3 - Р. ф. такие, что F1(x)абсолютно непрерывна: [img: http://localhost:8080/file/041869-44.jpg] F2(x) -"ступенчатая функция": [img: http://localhost:8080/file/041869-45.jpg] " где [img: http://localhost:8080/file/041869-46.jpg] -точки скачков F(x), а [img: http://localhost:8080/file/041869-47.jpg] пропорциональны размеру этих скачков; F3(x) -"сингулярная" компонента - непрерывная функция, производная к-рой почти всюду равна нулю. [img: http://localhost:8080/file/041869-52.jpg] тогда 1) если [img: http://localhost:8080/file/041869-53.jpg] при всех k, то Xимеет абсолютно непрерывную Р. ф. (с p(x)=1для [img: http://localhost:8080/file/041869-54.jpg], т. е. X равномерно распределена на [0, 1]); 2) если [img: http://localhost:8080/file/041869-55.jpg], то Xимеет "ступенчатую" Р. ф. (она имеет скачки во всех двоично-рациональных точках отрезка [0, 1]); 3) если [img: http://localhost:8080/file/041869-56.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041869-57.jpg], то X имеет "сингулярную" Р. ф. Этот пример является иллюстрацией одной теоремы П. Леви (P. Levy), в соответствии ск-рой предел бесконечной свертки дискретных Р. ф. может содержать только одну из указанных выше компонент. "Расстояние" между распределениями P> и Q на числовой прямой часто определяют в терминах соответствующих Р. ф. Fи S, полагая, напр., [img: http://localhost:8080/file/041869-58.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/041869-59.jpg] (см. Распределений сходимость. Леви метрика, Характеристическая функция). Р. ф. наиболее употребительных распределений вероятностей (напр.. нормального, биномиального, пуассоновского распределений) табулированы. Для проверки гипотез о Р. ф. Fпо результатам независимых наблюдений используют так или иначе измеренное отклонение Fот эмпирической Р. ф. (см. Колмогорова критерий, Колмогорова - Смирнова критерий, Крамера- Мизеса критерий). Понятие Р. ф. естественным образом распространяется на многомерный случай, но многомерные Р. ф. значительно менее употребительны, чем одномерные. О приближенном представлении Р. ф. см. Грама - Шарлье ряд, Эджворта ряд, Предельные теоремы.