Расширение

п о л у г р у п п ы А - полугруппа S, содержащая Ав качестве подполугруппы. Обычно речь идет о расширениях полугруппы А, связанных с Атеми или иными условиями. Наиболее развита теория идеальных Р. полугрупп (полугрупп, содержащих Ав качестве идеала). Каждому элементу s идеального расширения Sполугруппы Асопоставляют ее левый и правый сдвиги [img: http://localhost:8080/file/0418670-187.jpg]; пусть [img: http://localhost:8080/file/0418670-188.jpg] [img: http://localhost:8080/file/0418670-189.jpg]. Отображение t является гомоморфизмом полугруппы Sв сдвиговую оболочку Т(А). полугруппы Аили изоморфизмом, если Аслабо редуктивна (см. Сдви ги, полугрупп). Полугруппа tS наз. т и п о м и д еа л ь н о г о р а с ш и р е н и я S. Среди идеальных расширений Sполугруппы Авыделяют с т р о г и е Р., для к-рых tS=tA, и ч и с т ы е Р.,вк-рых [img: http://localhost:8080/file/0418670-190.jpg] [img: http://localhost:8080/file/0418670-191.jpg]. Каждое идеальное Р. полугруппы Аявляется чистым Р. нек-рого ее строгого Р. Идеальное расширение Sполугруппы Аназ. п л о т н ы м (иногда с у щ е с т в е н н ы м), если всякий гомоморфизм полугруппы S, инъективный на А, являетсяизоморфизмом. Полугруппа Атогда и только тогда обладает максимальным плотным идеальным расширением D, когда Аслабо редуктивна; в этом случае Dединственна с точностью до изоморфизма и изоморфна Т(А), а полугруппа Аназ. плотно в л о ж е нн ы м и д е а л о м в D. Подполугруппы Т(А), содержащие t А, и только они изоморфны плотным идеальным Р. слабо редуктивной полугруппы А. Если S - идеальное Р. полугруппы Аи факторполу-группа [img: http://localhost:8080/file/0418670-192.jpg] изоморфна Q, то Sназывается Р. полугруппы Апри помощи полугруппы Q. Хорошо изучены идеальные Р. вполне простых полугрупп, идеальные Р. группы при помощи вполне 0-простой полугруппы, коммутативной полугруппы с сокращением при помощи группы с присоединенным нулем и т. д. В общем случае задача описания всех идеальных Р. полугруппы Апри помощи полугруппы Qдалека от решения. Среди Р. полугруппы Адругих типов выделяются полугруппы S,обладающие конгруэнцией, одним из классов к-рой является А, вчастности т. н. ш р е й ер о в ы Р. полугруппы с единицей [1] - аналог шрейеровых расширений групп. При изучении различных видов таких Р. полугрупп (в частности, для инверсных полугрупп) используются когомологии полугрупп. Другим широким направлением теории Р. полугрупп являются различные задачи о существовании Р. полугруппы А, принадлежащих фиксированному классу полугрупп. Так, всякую полугруппу Аможно вложить в полную полугруппу, в простую относительно конгруэнции полугруппу, в бипростую полугруппу с нулем и единицей (см. Простая полугруппа);всякую конечную или счетную полугруппу - в полугруппу с двумя образующими. Известны условия, при к-рых полугруппу Аможно вложить в полугруппу без собственных левых идеалов, в инверсную полугруппу, в группу (см. Вложение полугруппы).и т. д.