Рауса теорема

- теорема, позволяющая для многочлена f(х)с действительными коэффициентами (в регулярном случае) определить с помощью схемы Рауса число комплексных корней этого многочлена с положительной действительной частью. Пусть многочлен f (х)для удобства записан в виде [img: http://localhost:8080/file/041871-60.jpg] С х е м о й Р а у с а этого многочлена наз. система чисел [img: http://localhost:8080/file/041871-61.jpg] В этой схеме первые две строки составлены из коэффициентов многочлена f(x), а каждая строка, начиная с третьей, получается из двух предыдущих следующим образом: из первой строки вычитается вторая, умноженная на такое число, чтобы первый элемент обратился в нуль. Выбрасывая этот первый нуль, получают искомую строку. Напр., в третьей строке [img: http://localhost:8080/file/041871-62.jpg] В первой строке схемы Рауса число элементов равно целой части числа [img: http://localhost:8080/file/041871-63.jpg], во второй - целой части числа [img: http://localhost:8080/file/041871-64.jpg], в k- йстроке при k>2 число элементов на 1 меньше, чем в (k-2)-й строке. Вся схема содержит n+1 строку. Р е г у л я р н ы м наз. тот случай, когда в схеме Рауса многочлена все числа первого столбца отличны от нуля. Теорема Рауса. Для многочлена с действительными коэффициентами в регулярном случае число корней, лежащих в правой полуплоскости (т. е имеющих положительные действительные части), равно числу перемен знака в ряду чисел первого столбца схемы Рауса. В регулярном случае многочлен не может иметь корней, лежащих на мнимой оси. К р и т е р и й Р а у с а: для того чтобы все корни многочлена f(x) с действительными коэффициентами имели отрицательные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы все числа первого столбца схемы Рауса были отличны от нуля и имели одинаковые знаки. Эти теоремы были установлены Э. Раусом [1]. Метод Рауса применяется для определения числа корней многочлена в правой полуплоскости и в нек-рых нерегулярных случаях. Построение схемы Рауса возможно лишь для многочленов с заданными числовыми коэффициентами. Более широко применим метод, в к-ром роль схемы Рауса играет матрица Гурвица, а роль первого столбца схемы Рауса - последовательность главных миноров Di, [img: http://localhost:8080/file/041871-65.jpg] (см. Рауса - Гурвица критерий). При этом аналогом Р. т. будет т е о р е м а Р а у с а - Г у р в и ц а: если все миноры Di,- отличны от нуля, то число корней многочлена f (х), лежащих в правой полуплоскости, равно числу перемен знака в ряду чисел [img: http://localhost:8080/file/041871-66.jpg] и f (х)не имеет корней, лежащих на мнимой оси. Этот метод применим при нек-рых дополнительных условиях к случаю, когда отдельные из миноров Di равны нулю.