Рациональное отображение

- обобщение понятия рациональной функции на алгебраич. многообразии. А именно, р а ц и о н а л ь н ы м о т о бр а ж е н и е м неприводимого алгебраич. многообразия Xв алгебраич. многообразие Y(оба определены над полем k). наз. класс эквивалентности пар (U,jU), где U - непустое открытое подмножество в X, а jU- морфизм из Uв Y. При этом пары (U,jU). и (V, jV) считаются эквивалентными, если jU и jV совпадают на [img: http://localhost:8080/file/041872-8.jpg]. В частности, Р. о. многообразия X в аффинную прямую есть рациональная функция на многообразии X. Для каждого Р. о. j: [img: http://localhost:8080/file/041872-9.jpg] существует такая пара [img: http://localhost:8080/file/041872-10.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/041872-11.jpg] для любой эквивалентной ей пары (U,jU) и jU является ограничением [img: http://localhost:8080/file/041872-12.jpg] на U. Открытое подмножество [img: http://localhost:8080/file/041872-13.jpg] наз. о б л а с т ь ю р е г ул я р н о с т и Р. о. j, а [img: http://localhost:8080/file/041872-14.jpg] - о б р а з о м м н ог о о б р а з и я X(обозначается j(X)) при Р. о. j. Если [img: http://localhost:8080/file/041872-15.jpg] Р. о. алгебраич. многообразий и образ j (X) плотен в Y, то j определяет вложение полей [img: http://localhost:8080/file/041872-16.jpg]. Обратно, вложение полей рациональных функций [img: http://localhost:8080/file/041872-17.jpg] определяет Р. о. многообразия Xв Y. Если Р. о. j индуцирует изоморфизм полей рациональных функций k(X)и k (Y), то j наз. б и р а ц и о н а л ь н ы м отображением. Множество точек из X, в к-рых Р. о. [img: http://localhost:8080/file/041872-18.jpg] не регулярно, имеет в общем случае коразмерность 1. Но если Y - полное многообразие, а X - гладкое неприводимое многообразие, то множество точек из X, в к-рых j не регулярно, имеет коразмерность не меньше двух. Если X и Y - полные неприводимые многообразия над алгебраически замкнутым полем характеристики 0, то Р. о. [img: http://localhost:8080/file/041872-19.jpg] может быть включено в коммутативную диаграмму (см. [2]): [img: http://localhost:8080/file/041872-20.jpg] (*) где h, f - морфизмы алгебраич. многообразия Z, и h является композицией моноидальных преобразований. Если [img: http://localhost:8080/file/041872-21.jpg] - бирациональное отображение полных неособых поверхностей, то существует диаграмма (*), в к-рой оба морфизма f и hявляются композициями моноидальных преобразований с неособыми центрами (т е о р е м а З а р и с к о г о), т. е. любое бирациональное отображение полных неособых поверхностей раскладывается в композицию моноидальных преобразований с неособыми центрами и обратных к ним отображений. В случае [img: http://localhost:8080/file/041872-22.jpg] аналогичный вопрос о разложении бирационального отображения открыт (1983).