Регуляризации метод

- метод построения приближенных решений некорректных задач, состоящий в том, что в качестве приближенных решений некорректных задач [точнее - некорректно поставленных задач (н. п. з.)] берутся значения регуляризирующего оператора с учетом приближенного характера исходной информации (см. Некорректные задачи). Для определенности ниже рассматривается задача нахождения решений функциональных уравнений вида Az=u, в к-рых z и и - элементы метрич. пространств F и Uс расстоянием [img: http://localhost:8080/file/041873-37.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041873-38.jpg]. Если, напр., А - вполне непрерывный оператор, то решения такого уравнения не обладают свойством устойчивости к малым изменениям правой части и. Пусть вместо точных значений исходной информации [img: http://localhost:8080/file/041873-39.jpg] даны их приближения [img: http://localhost:8080/file/041873-40.jpg]. В этих условиях речь может идти лишь о нахождении приближений к решению [img: http://localhost:8080/file/041873-41.jpg] уравнения [img: http://localhost:8080/file/041873-42.jpg]. Нельзя в качестве приближенного решения н. п. з. такого вида с приближенной исходной информацией [img: http://localhost:8080/file/041873-43.jpg] брать точное решение уравнения [img: http://localhost:8080/file/041873-44.jpg], т. к. такого решения может не существовать, а если оно и существует, то не будет устойчивым к малым изменениям исходной информации и, следовательно, такое "решение" может не допускать физич. интерпретации. В дальнейшем полагается для простоты, что приближенной может быть лишь правая часть и, а оператор Азадан точно. Пусть d - оценка уклонения [img: http://localhost:8080/file/041873-45.jpg] от [img: http://localhost:8080/file/041873-46.jpg] т. е. расстояния [img: http://localhost:8080/file/041873-47.jpg], и F0 М F - заданный класс возможных решений (моделей сравнения). Естественно искать приближенные решения уравнения [img: http://localhost:8080/file/041873-48.jpg] среди элементов [img: http://localhost:8080/file/041873-49.jpg], сопоставимых с исходной информацией, т. е. таких, что [img: http://localhost:8080/file/041873-50.jpg]. Пусть Fd - множество всех таких элементов из F0. Если в выбранном классе F0 возможных решений нет элементов (напр., функций z(s)), сопоставимых с исходными данными, то это значит, что элементы z из F0 имеют слишком упрощенную (грубую) структуру. В этом случае надо расширять класс F0, беря, возможно, последовательность расширяющихся классов [img: http://localhost:8080/file/041873-51.jpg], пока не найдется класс Fn, содержащий элементы (напр., функции), сопоставимые с исходными данными. Если Fn не пусто, то оно может содержать существенно отличающиеся друг от друга элементы(функции). В таких случаях одно лишь требование сопоставимости возможных решений с исходными данными не может служить критерием нахождения однозначно определенных приближенных решений уравнений [img: http://localhost:8080/file/041873-52.jpg], т. к. нет достаточных оснований для выбора в качестве приближенного решения того или иного сопоставимого элемента из F п. Для однозначного определения устойчивых решений необходим нек-рый принцип отбора сопоставимых с [img: http://localhost:8080/file/041873-53.jpg] решений. Обычно его формулируют, пользуясь смыслом задачи. Такой отбор может быть произведен, напр., по принципу выбора элемента (функции) из Fn, имеющего минимальную сложность. Понятие сложности элемента z может быть формализовано, напр., с помощью функционалов сложности W[z] - непрерывных, неотрицательных и удовлетворяющих нек-рым специальным условиям (см. [1]). За меру сложности элемента z принимается значение функционала W[z]. Так, если элементами z являются непрерывные на отрезке [а, b]функции z(s) класса [img: http://localhost:8080/file/041873-54.jpg], то функционал сложности W[z] можно взять, напр., в виде [img: http://localhost:8080/file/041873-55.jpg] Желание искать приближенные решения уравнений [img: http://localhost:8080/file/041873-56.jpg] среди простейших элементов (функций), сопоставимых с исходными данными, приводит к задаче нахождения элемента из Fd, минимизирующего W[z] на Fd. Если оператор Алинейный и функционал W[z]не имеет локальных минимумов на области своего определения FW, то эта задача может быть сведена (см. подробнее в [1]) к задаче нахождения элемента za из множества [img: http://localhost:8080/file/041873-57.jpg], минимизирующего функционал [img: http://localhost:8080/file/041873-58.jpg] Значение параметра a (параметра регуляризации) должно быть согласовано с уровнем погрешности исходных данных. Его можно определить, напр., по невязке, т. е. из условия [img: http://localhost:8080/file/041873-59.jpg], если известно число d. Но возможны и др. способы определения a (см. [1]). Таким образом, параметр a должен зависеть от d и [img: http://localhost:8080/file/041873-60.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041873-61.jpg]. Элемент [img: http://localhost:8080/file/041873-62.jpg] и принимается за приближенное решение уравнения [img: http://localhost:8080/file/041873-63.jpg]. Это и есть одна из форм разработанного в [2], [3] Р. м. Аналогично строятся приближенные решения уравнений [img: http://localhost:8080/file/041873-64.jpg] с приближенно заданным оператором [img: http://localhost:8080/file/041873-65.jpg] и правой частью [img: http://localhost:8080/file/041873-66.jpg]. При этом минимизируется функционал типа [img: http://localhost:8080/file/041873-67.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041873-68.jpg] (см., напр., [1-]). Возможны и другие формы Р. м. и применение его к иным классам задач(см. [1]). Р. м. развит и для решения нелинейных задач (см. [1], [4]).