Регулярная экстремаль

н е о с о б е н н а я э к с т р е м а л ь,- экстремаль у(х), во всех точках к-рой выполняется условие [img: http://localhost:8080/file/041873-155.jpg] (1) где F(x, у, у') - подинтегральная функция, входящая в минимизируемый функционал [img: http://localhost:8080/file/041873-156.jpg] Как всякая экстремаль, Р. э. есть, но определению, гладкое решение Эйлера уравнения [img: http://localhost:8080/file/041873-157.jpg] Точки экстремали, в к-рых выполнено условие (1), наз. р е г у л я р н ы м и т о ч к а м и. Доказано, что в каждой регулярной точке экстремаль имеет непрерывную 2-ю производную у" (х). На Р. э. 2-я производная у" (х)непрерывна. Для Р. э. уравнение Эйлера [img: http://localhost:8080/file/041873-158.jpg] можно записать в виде, разрешенном относительно старшей производной [img: http://localhost:8080/file/041873-159.jpg] Свойство регулярности (1) непосредственно связано с необходимым Лежандра условием (в усиленной форме), согласно к-рому во всех точках экстремали должао выполняться неравенство [img: http://localhost:8080/file/041873-160.jpg] Регулярность существенно используется при доказательстве возможности включения экстремали у(х)в окружающее ее поле экстремалей. Если хотя бы в одной точке условие (1) нарушается, то экстремаль не всегда может быть включена в поле. Условие включения экстремали в поле является одним из достаточных условий экстремума. Приведенное определение Р. э. дано для простейшей задачи вариационного исчисления, в к-рой рассматривается функционал, зависящий от одной неизвестной функции. Для функционалов, зависящих от пнеизвестных функций: [img: http://localhost:8080/file/041873-161.jpg] Р. э. наз. такая экстремаль, во всех точках к-рой определитель n-гo порядка [img: http://localhost:8080/file/041873-162.jpg] (2) Для более общих задач вариационного исчисления на условный экстремум (см. Больца задача).Р. э. определяется аналогично: только вместо Fв (2) следует подставить Лагранжа функцию L. Экстремаль, у к-рой на нек-ром участке условие регулярности ((1) или (2)) нарушается во всех точках, наз. о с о б о й э к с т р е м а л ь ю, а указанный участок наз. у ч а с т к о м о с о б о г о р е ж и м а. Для особых режимов выведены необходимые условия, дополняющие известные классические необходимые условия экстремума (см. Оптимальный режим особый).