Решетка подалгебр

у н и в е р с а л ь н о й а л г е б р ы А - частично упорядоченное (отношением теоретико-множественного включения) множество Sub A всех подалгебр алгебры А. Для произвольных [img: http://localhost:8080/file/041878-79.jpg] их супремумом будет подалгебра, порожденная Xи Y, а их инфинумом - пересечение [img: http://localhost:8080/file/041878-80.jpg] Пересечение подалгебр может быть пустым, поэтому для нек-рых типов алгебр (напр., для полугрупп и решеток) к числу подалгебр относят и пустое множество. Для любой алгебры АР. и. Sub Аявляется алгебраической и обратно, для любой алгебраической решетки Lсуществует алгебра Атакая, что [img: http://localhost:8080/file/041878-81.jpg] (т е о р е м а Б и р к г о ф а - Ф р и н к а). Любая решетка вло-жима в решетку Sub Адля нек-рой группы А. Р. п. Sub A - одна из основных производных структур, сопоставляемых алгебре А(наряду с такими структурами, как группа автоморфизмов, полугруппа эндоморфизмов, решетка конгруэнций и т. п.). Проблематика, посвященная изучению связей между алгебрами и их Р. п. делится на такие аспекты: решеточные изоморфизмы, решеточные характеристики тех или иных классов алгебр, исследование алгебр с различными ограничениями на Р. п. Алгебры Аи Вназ. р е ш е т о ч н о и з о м о р ф н ы м и, если [img: http://localhost:8080/file/041878-82.jpg]; всякий изоморфизм Sub Ана Sub Вназ. р е ш е т о ч н ы м изоморфизмом (или п р о е к т и р о в а н и е м) Ана В. Изоморфные алгебры решеточно изоморфны, обратное же далеко не обязательно. Говорят, что алгебра Ар е ш е т о ч н о о п р е д е л я е т с я (в данном классе [img: http://localhost:8080/file/041878-83.jpg]), если для любой однотипной с ней алгебры В(из [img: http://localhost:8080/file/041878-84.jpg]) из [img: http://localhost:8080/file/041878-85.jpg] следует [img: http://localhost:8080/file/041878-86.jpg]. В некоторых случаях (напр., для полугрупп) понятие решеточной определяемости расширяют добавлением в заключение импликации условия "или Вантиизоморфна А", так как антиизоморфные полугруппы также решеточно изоморфны. Классический пример решеточной определяемости доставляет первая основная теорема проективной геометрии (см. [1]), где в качестве Арассматриваются векторные пространства над телами. Решеточно определяющимися являются также всякая абелева группа, содержащая два независимых элемента бесконечного порядка, всякая свободная группа (свободная полугруппа) и группа (полугруппа), нетривиально разложимая в свободное произведение, всякая нильпотентная группа без кручения, всякая коммутативная полугруппа с законом сокращения и без идемпотентов, всякая свободная полугруппа идемпотентов, свободная полурешетка более чем с двумя свободными образующими. При этом нередко оказывается, что каждое проектирование алгебры индуцируется ее изоморфизмом (или антиизоморфизмом). Класс однотипных алгебр [img: http://localhost:8080/file/041878-87.jpg] может содержать решеточно не определяющиеся алгебры, но обладать тем свойством, что из [img: http://localhost:8080/file/041878-88.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041878-89.jpg] вытекает, что [img: http://localhost:8080/file/041878-90.jpg]; в этом случае говорят, что [img: http://localhost:8080/file/041878-91.jpg] решеточно о п р е д е л я е т с я (или р е ш е т о ч н о з а м к н у т); если при этом алгебры Вберутся только из класса [img: http://localhost:8080/file/041878-92.jpg], то к соответствующему термину добавляют "в классе [img: http://localhost:8080/file/041878-93.jpg] ". Среди решеточно замкнутых классов - класс всех разрешимых групп. Многие ограничения, накладываемые на изучаемые алгебры, формулируются в терминах Р. п.; классический пример - условия минимальности и максимальности для подалгебр. Sub Аудовлетворяет условию максимальности тогда и только тогда, когда все подалгебры в Аконечно порожденные (см. также Группа с условием конечности, Полугруппа с условием конечности). В качестве других накладываемых на Р. п. ограничений рассматриваются такие теоретико-решеточные свойства как дистрибутивность, модулярность, различные виды полумодулярности, условие Жордана - Дедекинда, дополняемость, относительная дополняемость и т. д. Напр., для группы АР. п. дистрибутивна тогда и только тогда, когда Алокально циклическая (т е о р е м а О р е); условия дистрибутивности изучены и в случае полугрупп, ассоциативных колец, модулей, алгебр Ли и др. Наряду с изоморфизмами Р. п. рассматриваются дуализмы (т. е. антиизоморфизмы), гомоморфизмы. В случае, когда А- топологическая алгебра, наиболее естественно сопоставлять ей решетку всех замкнутых подалгебр; соответствующая проблематика также активно разрабатывается.