Риккати уравнение

- обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка вида [img: http://localhost:8080/file/041878-138.jpg] (1) где а, b, a - постоянные. Впервые это уравнение исследовал Я. Риккати (1723, см. [1]); отдельные частные случаи рассматривались раньше. Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1724-25) установил, что уравнение (1) интегрируется в элементарных функциях, если a= -2 или a=-4k(2k-1), где k - целое число. Ж. Лиувилль (J. Liouville, 1841) доказал, что при других значениях a решение уравнения (1) нельзя выразить в квадратурах от элементарных функций. Общее решение уравнения (1) может быть записано с помощью цилиндрических функций (см. [1]). Дифференциальное уравнение [img: http://localhost:8080/file/041878-139.jpg] (2) где [img: http://localhost:8080/file/041878-140.jpg] - непрерывные функции, наз. о б щ и м у р а в н е н и е м Р и к к а т и (в отличие от него уравнение (1) наз. с п е ц и а л ь н ы м у р а в н ен и е м Р и к к а т и). При [img: http://localhost:8080/file/041878-141.jpg] общее Р. у. является линейным дифференциальным уравнением, при [img: http://localhost:8080/file/041878-142.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041878-143.jpg] - Бернулли уравнением;решения этих двух уравнений находятся в квадратурах. Изучены также другие случаи интегрируемости общего Р. у. (см. [2]). Уравнение (2) тесно связано с системой дифференциальных уравнений: [img: http://localhost:8080/file/041878-144.jpg] (3) Если (х(t), у(t)).- решение системы (3) при [img: http://localhost:8080/file/041878-145.jpg] и у(t)не обращается в нуль на I, то z=x(t)y-1(t). есть решение уравнения (2); если z(t) - решение уравнения (2), a y(t) - решение уравнения [img: http://localhost:8080/file/041878-146.jpg] то пара [img: http://localhost:8080/file/041878-147.jpg] является решением системы (3). В частности, решения уравнения(2) при [img: http://localhost:8080/file/041878-148.jpg] связаны с решениями уравнения [img: http://localhost:8080/file/041878-149.jpg] равенством [img: http://localhost:8080/file/041878-150.jpg], если у(t)не обращается в нуль на I. В силу отмеченной связи, уравнение (2) часто привлекается для исследования колеблемости, неосцилляции, приводимости и многих других вопросов качественного поведения линейных уравнений и систем 2-го порядка (см. [3], [4]). Уравнение [img: http://localhost:8080/file/041878-151.jpg] (4) где [img: http://localhost:8080/file/041878-152.jpg] - неизвестная [img: http://localhost:8080/file/041878-153.jpg] -матрица-функция, а матрицы-функции А, В, С, D имеют размеры [img: http://localhost:8080/file/041878-154.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041878-155.jpg] соответственно, наз. м а т р и чн ы м у р а в н е н и е м Р и к к а т и. Решения [img: http://localhost:8080/file/041878-156.jpg] матричного Р. у. (4) связаны с решениями (X(t), Y(t))Матричной линейной системы: [img: http://localhost:8080/file/041878-157.jpg] (5) равенством [img: http://localhost:8080/file/041878-158.jpg] Матричное Р. у. играет важную роль в теории линейных гамильтоновых систем, вариационном исчислении, задачах оптимального управления, фильтрации, стабилизации управляемых линейных систем и др. (см. [6], [7]). Напр., оптимальное управление [img: http://localhost:8080/file/041878-159.jpg] в задаче минимизации функционала [img: http://localhost:8080/file/041878-160.jpg] на решениях системы [img: http://localhost:8080/file/041878-161.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041878-162.jpg] -матрицы Ф, М(t)симметричны и неотрицательно определены, [img: http://localhost:8080/file/041878-163.jpg] -матрица N(t), положительно определенная при [img: http://localhost:8080/file/041878-164.jpg], дается равенством [img: http://localhost:8080/file/041878-165.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041878-166.jpg] - решение матричного Р. у. [img: http://localhost:8080/file/041878-167.jpg] (6) с граничным условием [img: http://localhost:8080/file/041878-168.jpg] (см. [5], [8]). В задачах управления на бесконечном интервале времени важными являются вопросы о существовании у матричного Р. у. неотрицательно определенного ограниченного на [img: http://localhost:8080/file/041878-169.jpg] решения, о существовании периодического или почти периодического решения (в случае периодических или почти периодических коэффициентов уравнения) и о способах приближенного построения таких решений. В вариационных задачах с дискретным временем и задачах дискретной оптимизации аналогом уравнения (4) служит м а т р и ч н о е р е к у р р е н т н о е у р а в н е н и е Р и к к а т и [img: http://localhost:8080/file/041878-170.jpg] Уравнению (4) можно естественным образом поставить в соответствие динамич. систему на многообразии Грассмана [img: http://localhost:8080/file/041878-171.jpg] (см. [9]), что позволяет привлечь к исследованию уравнения (4) теорию динамич. систем. Напр., если матрицы А, В, С, D в уравнении (4) периодичны с периодом [img: http://localhost:8080/file/041878-172.jpg], где li - мультипликаторы (см. Флоке - Ляпунова теорема).системы (5), то соответствующая динамич. система порождается диффеоморфизмом Морса - Смейла (см. Морса- Смейла система), и потому она структурно устойчива.