Риманова область

к о м п л е к с н о е (а н ал и т и ч е с к о е) м н о г о о б р а з и е н а д [img: http://localhost:8080/file/041881-93.jpg],- аналог римановой поверхности аналитич. функции w=f(z) одного комплексного переменного z для случая аналитич. ции w=f(z), z=(z1;..., zn), многих комплексных переменных [img: http://localhost:8080/file/041881-94.jpg] Точнее, линейно связное хаусдорфово топологич. пространство Rназ. (а б с т р а к т н о й) р и м а н о в о й областью, если существует локальный гомеоморфизм (п р о е к ц и я) [img: http://localhost:8080/file/041881-95.jpg] такой, что для каждой точки [img: http://localhost:8080/file/041881-96.jpg] существует окрестность [img: http://localhost:8080/file/041881-97.jpg], гомеоморфно отображающаяся на нек-рый поликруг [img: http://localhost:8080/file/041881-98.jpg] в комплексном пространстве [img: http://localhost:8080/file/041881-99.jpg]. P.o. сепарабельна. Комплексная функция gназ. г о л о м о р ф н о й на R, если для любой точки [img: http://localhost:8080/file/041881-100.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/041881-101.jpg] от n комплексных переменных zl..., zn голоморфна в соответствующем поликруге D(z0; e). Проекция p задается набором n голоморфных функций p=(p1,...,pn), соответствующих координатам zl..., zn в [img: http://localhost:8080/file/041881-102.jpg]. Исходя из данного регулярного элемента аналитич. ции [img: http://localhost:8080/file/041881-103.jpg], ее Р. о. строится аналогично тому, как строится риманова поверхность данной аналитич. ции одного комплексного переменного, т. е. сначала посредством аналитич. родолжения строится полная аналитическая функция [img: http://localhost:8080/file/041881-104.jpg], а затем с помощью окрестностей вводится топология на множестве элементов полной аналитич. ции. Так же, как и римановы поверхности, Р. о. неизбежно возникают при аналитич. родолжении данного элемента аналитич. ции, когда полную аналитич. цию [img: http://localhost:8080/file/041881-105.jpg] стремятся представить, следуя идеям Б. Римана (В. Riemann), как однозначную функцию точки соответствующей Р. о. В частности, P.o. возникают как многолистные голоморфности области аналитич. функций многих комплексных переменных. Т е о р е м а О к а утверждает, что Р. о. является областью голоморфности тогда и только тогда, когда она голоморфно выпукла (см. Голоморфно выпуклое комплексное пространство). Современное изучение P.o. проводится в рамках общей теории аналитич. ространств. Обобщение понятия области голоморфности приводит к Штейна пространствам.