Рисовская полугруппа матричного типа

- теоретико-полугрупповая конструкция, определяемая следующим образом. Пусть S - произвольная полугруппа, [img: http://localhost:8080/file/041883-101.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041883-102.jpg] -(индексные) множества, [img: http://localhost:8080/file/041883-103.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041883-104.jpg] -матрица над S, т. [img: http://localhost:8080/file/041883-107.jpg] Тогда Мпревращается в полугруппу, к-рая наз. Р. п. м. т. над полугруппой Sи обозначается [img: http://localhost:8080/file/041883-108.jpg]; матрица Рназ. с э н д в и ч - м а т р и ц е й полугруппы [img: http://localhost:8080/file/041883-109.jpg]. Если Sесть полугруппа с нулем 0, то [img: http://localhost:8080/file/041883-110.jpg] есть идеал в [img: http://localhost:8080/file/041883-111.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041883-112.jpg] и факторполугруппа Риса M/Z (см. Полугруппа).обозначается [img: http://localhost:8080/file/041883-113.jpg]; в случае, когда S=G0 есть группа G0 с присоединенным нулем, вместо [img: http://localhost:8080/file/041883-114.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041883-115.jpg] пишут [img: http://localhost:8080/file/041883-116.jpg] и называют эту полугруппу Р. п. м. т. над группой с присоединенным нулем G0. Для полугрупп [img: http://localhost:8080/file/041883-117.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041883-118.jpg] группа Gназ. с т р у к т у р н о й г р у п п о й. Другое представление Р. п. м. т. над полугруппой Sс нулем и [img: http://localhost:8080/file/041883-119.jpg] - сэндвич-матрицей Росуществляется следующим образом. [img: http://localhost:8080/file/041883-120.jpg] - матрица над Sназ. матрицей Р и с а, если она содержит не более одного ненулевого элемента. Через [img: http://localhost:8080/file/041883-121.jpg] обозначается матрица Риса над S, у к-рой в i-й строке и l-м столбце стоит а, а на остальных местах - нули. На множестве всех [img: http://localhost:8080/file/041883-122.jpg] -матриц Риса над Sзадается операция: [img: http://localhost:8080/file/041883-123.jpg] (*) где в правой части - "обычное" матричное умножение. Относительно этой операции указанное множество образует полугруппу. Отображение [img: http://localhost:8080/file/041883-124.jpg] является изоморфизмом этой полугруппы на полугруппу [img: http://localhost:8080/file/041883-125.jpg]; обозначение [img: http://localhost:8080/file/041883-126.jpg] применяется для обеих этих полугрупп. Формула (*) объясняет термин "сэндвич-матрица" для Р. Если G - группа, то полугруппа [img: http://localhost:8080/file/041883-127.jpg] будет регулярной тогда и только тогда, когда каждая строка и каждый столбец матрицы Рсодержит ненулевой элемент; всякая полугруппа [img: http://localhost:8080/file/041883-128.jpg] вполне проста, всякая регулярная полугруппа [img: http://localhost:8080/file/041883-129.jpg] вполне 0-проста. Обращение последних двух утверждений составляет основное содержание т е о р е м ы Р и с а [1]: всякая вполне простая (вполне 0-простая) полугруппа изоморфно представима Р. п. м. т. над группой (регулярной Р. п. м. т. над группой с присоединенным нулем). Если [img: http://localhost:8080/file/041883-130.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041883-131.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041883-132.jpg] изоморфны, то группы G и G' изоморфны, I и I' равномощны, [img: http://localhost:8080/file/041883-133.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041883-134.jpg] равномощны; необходимые и достаточные условия изоморфизма полугрупп [img: http://localhost:8080/file/041883-135.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041883-136.jpg] хорошо известны и наряду с только что приведенными условиями включают вполне определенную связь между сэндвич-матрицами Р и Р' (см. [1] - [3]). В частности, любая вполне 0-простая полугруппа изоморфно представима Р. п. м. т., у сэндвич-матрицы Рк-рой каждый элемент в данной строке и данном столбце равен либо 0, либо единице структурной группы; такая сэндвич-матрица наз. н о р м а л и з о в а н н о й. Аналогичные свойства выполняются для вполне простых полугрупп.