Рисса теорема

- 1) Р. т. о представлении субгармонической функции: если и(х) - субгармонич. функция в области Dевклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/041883-228.jpg], то существует единственная положительная борелевская мера m на Dтакая, что для любого относительно компактного множества [img: http://localhost:8080/file/041883-229.jpg] справедливо п р е д с т а в л е н и е Р и с с а функции и(х)в виде суммы потенциала и гармонич. функции h(x): [img: http://localhost:8080/file/041884-1.jpg] (4) где [img: http://localhost:8080/file/041884-2.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041884-3.jpg] - расстояние между точками [img: http://localhost:8080/file/041884-4.jpg] (см. [1]). Мера m наз. а с с о ц и и р о в а н н о й мерой для функции и(х)или м е р о й Р и с с а. Если [img: http://localhost:8080/file/041884-5.jpg] есть замыкание области H, причем существует обобщенная функция Грина g(x, у; Н), то формулу (1) можно записать в виде [img: http://localhost:8080/file/041884-6.jpg] (2) где h* (х) - наименьшая гармонич. мажоранта и(х)в области Н. Формулы (1), (2) можно распространить при нек-рых дополнительных условиях на всю область D(см. Субгармоническая функция, а также [3], [5]). 2) Р. [img: http://localhost:8080/file/041884-10.jpg] где sn(r) - площадь Sn(x0,r), и является выпуклой функцией относительно 1/rn-2 при [img: http://localhost:8080/file/041884-11.jpg] и относительно Inr при n=2. Если же и(х) - субгармонич. функция во всем шаре [img: http://localhost:8080/file/041884-12.jpg], то J(r), кроме того,- неубывающая непрерывная функция относительно r при условии, что J(0) = u(x0)(см. [1]). 3) Р. [img: http://localhost:8080/file/041884-15.jpg] где Е - любое множество положительной меры на окружности [img: http://localhost:8080/file/041884-16.jpg], f(eiq) - граничные значения f(z) на Г. Кроме того, [img: http://localhost:8080/file/041884-17.jpg] тогда и только тогда, когда ее первообразная непрерывна в замкнутом круге [img: http://localhost:8080/file/041884-18.jpg] и абсолютно непрерывна на Г (см. [2]). Теоремы 1) - 3) доказаны Ф. Риссом (см. [1], [2]).