Ричардсона экстраполяция

- метод ускорения сходимости решений разностных задач (см. Аппроксимация дифференциальной краевой задачи разностной). Основная идея метода состоит в исследовании решения и h,(x) сходящейся разностной задачи при фиксированных хкак функции параметра hразностной сетки, стремящегося к нулю, в подборе подходящей интерполяционной функции c(h), построенной по нескольким значениям решения и h, (х). при различных h, и вычислении величины c(0), являющейся приближенным значением искомого решения и(х) - предела последовательности uh (х)при [img: http://localhost:8080/file/041884-101.jpg]. Чаще всего функция c(h). ищется в виде интерполяционного многочлена от h. Метод носит имя Л. Ричардсона [1], к-рый впервые использовал его как средство для улучшения точности решений разностных задач и называл постепенным п е р е х о д о м к п р е д е л у. Теоретич. основой применимости метода служит существование разложения вида [img: http://localhost:8080/file/041884-102.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041884-103.jpg] и функции [img: http://localhost:8080/file/041884-104.jpg] не зависят от h,a hh,(x) - значения сеточной функции, ограниченные при [img: http://localhost:8080/file/041884-105.jpg]. Имеется несколько теоретич. приемов для выяснения существования таких разложений [4]. Чаще всего используется линейная экстраполяция: с помощью m значений uh (х)в одной точке x для различных параметров h=h1,..., hm вычисляется экстраполированное значение и H (х)по правилу [img: http://localhost:8080/file/041884-106.jpg] где веса [img: http://localhost:8080/file/041884-107.jpg] определяются из системы уравнений: [img: http://localhost:8080/file/041884-108.jpg] Если среди [img: http://localhost:8080/file/041884-109.jpg] нет слишком близких значений, то [img: http://localhost:8080/file/041884-110.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041884-111.jpg], то есть величина uH(x)сходится к и(х) при [img: http://localhost:8080/file/041884-112.jpg] с порядком В, что больше b1 - порядка сходимости uh (х)к и(х). В двух частных случаях существуют алгоритмы вычисления величины и H (х), минуя определение коэффициентов [img: http://localhost:8080/file/041884-113.jpg]: а) в случае bi = iр, р> 0, i =1,..., т -1, метод приводит к интерполяции многочлена от [img: http://localhost:8080/file/041884-114.jpg] и из свойств Лагранжа интерполяционной формулы следует, что [img: http://localhost:8080/file/041884-115.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041884-116.jpg] (*) б) в случае [img: http://localhost:8080/file/041884-117.jpg], формула (*) заменяется следующей: [img: http://localhost:8080/file/041884-118.jpg] Этот алгоритм, называемый п р а в и л о м Ромберга (W. Romberg, 1955), нашел распространение при конструировании квадратурных формул (см. [5]). Для того чтобы при различных hi сетки [img: http://localhost:8080/file/041884-119.jpg] (см. Аппроксимация дифференциального оператора разностным).имели возможно больше общих узлов для осуществления Р. э., параметры hi выбирают как часть одной из последовательностей: hi=h0/i, i=l, 2,...; hi=h021-i, i=1, 2,...; h0, h0/2, h0/3, h0/4, h0/6, h0/8, h0/12,.... Линейная экстраполяция не является единственно возможной. Напр., в случае bi=iр, р> 0, в качестве интерполяционной функции c(h) используют рациональные функции вида j(hp)/y(hp), где j(t), y(t)-многочлены от tстепени [(m -1)/2] и [m/2] соответственно. Тогда результат рациональной экстраполяции и H (х)=c(0) может быть вычислен с помощью рекуррентной процедуры: [img: http://localhost:8080/file/041884-120.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041884-121.jpg] Р. э. удобна для реализации на ЭВМ, поскольку для достижения высокой точности использует многократное решение простых разностных задач (иногда с небольшими модификациями) невысокого порядка аппроксимации, для к-рых обычно хорошо разработаны стандартные приемы решения и программы для ЭВМ.