Робена постоянная

- численная характеристика множества точек евклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/041884-173.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041884-174.jpg], тесно связанная с емкостью множества. Пусть K - компакт в [img: http://localhost:8080/file/041884-175.jpg], m - положительная борелевская мера, сосредоточенная на K и нормированная условием m(K)=1. Интеграл [img: http://localhost:8080/file/041884-176.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041884-177.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041884-178.jpg] - расстояние между точками [img: http://localhost:8080/file/041884-179.jpg], есть энергия мерыm. Постоянной Робена компакта Kназ. нижняя грань g(K) =inf V(m)по всем мерам m указанного вида. Если [img: http://localhost:8080/file/041884-180.jpg], то эта грань конечна и достигается на нек-рой (единственной) р а в н о в е с н о й (или е м к о с т н о й) м е р е l> 0, g(K)=V(l),l(K)=1, сосредоточенной на K; если [img: http://localhost:8080/file/041884-181.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041884-182.jpg] для всех мер mуказанного вида. Р. п. компакта Kсвязана с его емкостью соотношениями [img: http://localhost:8080/file/041884-183.jpg] Если граница Sкомпакта Kдостаточно гладкая, напр. состоит из конечного числа попарно непересекающихся простых замкнутых поверхностей (при [img: http://localhost:8080/file/041884-184.jpg]) или кривых (при п=2)класса С 1,a,0< a< 1, то равновесная мера l сосредоточена на части [img: http://localhost:8080/file/041884-185.jpg], к-рая составляет границу той связной компоненты дополнения [img: http://localhost:8080/file/041884-186.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041884-187.jpg], к-рая содержит бесконечно удаленную точку. Р а в н о в е с н ы й п о т е н ц и а л, т. е. потенциал равновесной меры [img: http://localhost:8080/file/041884-188.jpg] в этом случае принимает на [img: http://localhost:8080/file/041884-189.jpg] постоянное значение, равное g(K), что и позволяет вычислить Р. п. компакта в простейших случаях (см. Робена задача). Напр., Р. п. круга радиуса r > 0 в [img: http://localhost:8080/file/041884-190.jpg] равна - In r, а Р. п. шара радиуса r>0 в [img: http://localhost:8080/file/041884-191.jpg], равна [img: http://localhost:8080/file/041884-192.jpg]. В случае произвольного компакта Kположительной емкости всюду [img: http://localhost:8080/file/041884-193.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041884-194.jpg] всюду на носителе S(l) равновесной меры l, кроме, быть может, точек нек-рого полярного множества, причем всегда [img: http://localhost:8080/file/041884-195.jpg]. Пусть D - область расширенной комплексной плоскости [img: http://localhost:8080/file/041884-196.jpg], содержащая внутри бесконечно удаленную точку и допускающая функцию Грина [img: http://localhost:8080/file/041884-197.jpg] с полюсом в бесконечности. Тогда имеет место представление [img: http://localhost:8080/file/041884-198.jpg] (1) где z=x+iy - комплексное переменное, g(D) - постоянная Р о б е н а о б л а с т и D, [img: http://localhost:8080/file/041884-199.jpg] - гармонич. функция в D, причем [img: http://localhost:8080/file/041884-200.jpg] Определяемая формулой (1) Р. п. области Dсовпадает с Р. п. компакта [img: http://localhost:8080/file/041884-201.jpg]. Если функция Грина для области Dне существует, то полагают [img: http://localhost:8080/file/041884-202.jpg]. Обобщая представление (1), для римановой поверхности R, допускающей функцию Грина, может быть получено локальное представление функции Грина g (p,p0) с полюсом [img: http://localhost:8080/file/041884-203.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/041884-204.jpg] (2) где z=z(p) - локальный униформизирующий параметр в окрестности полюса р 0, z(p0)=z0, g(R; р0) - постоянная Робена римановой поверхности Rотносительно полюса р 0, e(р, р0)- гармонич. функция в окрестности р 0, причем [img: http://localhost:8080/file/041884-205.jpg]. Для римановых поверхностей Rне допускающих функцию Грина, полагают [img: http://localhost:8080/file/041884-206.jpg]. В выражении (2) значение Р. п. g(R; p0)зависит уже от выбора полюса [img: http://localhost:8080/file/041884-207.jpg], но соотношения [img: http://localhost:8080/file/041884-208.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041884-209.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041884-210.jpg] не зависят от выбора полюса, что и позволяет использовать понятие Р. п. для классификации римановых поверхностей.