Рунге - кутта метод

- одношаговый метод численного решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида [img: http://localhost:8080/file/041885-75.jpg] (1) Основная идея Р.- К. м. была предложена К. Рунге [1] и развита затем В. Кутта [2] и др. Первоначально эта идея использовалась лишь для построения явных схем Р.- К. м., к-рые разыскивались в виде [img: http://localhost:8080/file/041885-76.jpg] (2) где [img: http://localhost:8080/file/041885-77.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041885-78.jpg] при этом значения постоянных Ai, an, bnm, i=l, 2,...,.q; n=2, 3,..., q; m=1, 2,..., n-1, определялись из требования, чтобы погрешность равенства (2) на точном решении уравнения (1) имела возможно высокий порядок малости в сравнении с шагом t для любых уравнений вида (1). В отличие от Адамса метода и др. многошаговых методов, Р.- К. м., как и всякий одношаговый метод, не требует предварительного построения начала таблицы значений приближенного решения и дает возможность вести вычислительный процесс при естественных для уравнения (1) начальных условиях, что позволяет использовать его непосредственно и в случае неравномерных сеток. Однако поскольку в этом методе не используется информация о решении в предыдущих узлах сетки, то он, вообще говоря, оказывается локально менее экономичным, чем, напр., метод Адамса. Наиболее широко известным (см., напр., [3]) среди Р.- К. м. является метод [img: http://localhost:8080/file/041885-79.jpg] принадлежащий зависящему от двух свободных параметров семейству методов четвертого порядка точности вида (2) с q=4. Популярен и простейший явный Р.- К. м. первого порядка точности, получающийся из (2) при q=1. Этот метод известен под названием м е т о д а Э й л е р а. При значениях q, равных 2 и 3, из (2) могут быть найдены семейства Р.- К. м. второго и третьего порядка точности, зависящие от одного и двух свободных параметров соответственно. В случае q> 4 имевшее место ранее соответствие между значением q и порядком точности метода уже нарушается. Р.- К. м. вида (2) пятого иорядка точности удается построить лишь при q=6, шестого - при q=7, седьмого - при q=9 и т. д. В этом случае с увеличением значения qна единицу расширение множества подлежащих выбору в (2) постоянных Ai,an, bnm часто оказывается уже недостаточным, чтобы удовлетворить условиям, возникающим из требования повышения на единицу порядка точности явного Р.- К. м. С целью увеличения числа выбираемых в (2) параметров можно рассмотреть, напр., следующее обобщение конструкции одношаговых методов, основанных на идее К. Рунге: [img: http://localhost:8080/file/041885-80.jpg] (3) Методы вида (2), (3) в общем случае являются уже неявными, что значительно осложняет их численную реализацию: величины kn, n=1, 2,..., q, на каждом шаге приходится находить из системы, вообще говоря, нелинейных уравнений (3). Однако за счет достигнутого здесь значительного увеличения числа подлежащих выбору констант такие методы приобретают следующее свойство (см. [4]): для каждого значения qсуществует неявный Р.- К. м. порядка точности 2q. Кроме того, при таком расширении класса Р.- К. м. появляются методы, хорошо ориентированные на случай жестких дифференциальных систем. Имеется еще одно видоизменение (см., напр., [5]) идеи К. Рунге конструирования одношаговых методов численного решения уравнений вида (1). Именно, исходя из (1) записывается равенство [img: http://localhost:8080/file/041885-81.jpg] Приближенное представление последнего интеграла квадратурной формулой с qузлами дает [img: http://localhost:8080/file/041885-82.jpg] (4) Если выбор узлов ai и коэффициентов Ai, i=l, 2,..., q,рассматриваемой квадратурной формулы подчинить условиям [img: http://localhost:8080/file/041885-83.jpg] (5) то погрешность приближенного равенства (4) будет величиной порядка tp + 1. При [img: http://localhost:8080/file/041885-84.jpg] система уравнений (5) разрешима и приближенное равенство (4) может быть построено. Аналогично можно записать приближенные равенства для неизвестных величин u(tj+ait), входящих в правую часть (4), при этом требования к их точности могут быть понижены на порядок, и т. д. В качестве примера так построенного одношагового метода ниже приводится (см. [6]) метод третьего порядка точности предсказывающе-исправляющего характера: [img: http://localhost:8080/file/041885-85.jpg] Если положить в (4) одно из значений ai- равным единице, на этом пути можно строить также и неявные методы, напр. метод [img: http://localhost:8080/file/041885-86.jpg] второго порядка точности. Рассмотренные выше на примере уравнений вида (1) подходы к построению численных методов могут быть распространены на обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков (см. [6], [7]), а также использованы при конструировании разностных схем в случае дифференциальных уравнений с частными производными.