Ручек теория

- один из методов изучения топологич. многообразий, основанный на представлении многообразия в виде объединения топологич. шаров с непересекающимися внутренностями и специальным образом пересекающимися краями. Пусть М n есть n-мерное многообразие, k- такое целое число, что [img: http://localhost:8080/file/041885-87.jpg], и пусть топологич. шар H является образом гомеоморфного отображения [img: http://localhost:8080/file/041885-88.jpg], где В т обозначает стандартный m-мерный шар с центром в точке О. Тогда пара (H, h)(или просто H) наз. р у ч к о й и н д е к с а kв многообразии М п. Гомеоморфизм hназ. характеристическим отображением ручки H, диск [img: http://localhost:8080/file/041885-89.jpg] - срединным, а диск [img: http://localhost:8080/file/041885-90.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041885-91.jpg] - секущим. Сфера [img: http://localhost:8080/file/041885-92.jpg] наз. приклеивающей (или п о д о ш в е н н о й) сферой, а сфера [img: http://localhost:8080/file/041885-93.jpg] - секущей. Пространство [img: http://localhost:8080/file/041885-94.jpg] наз. п о д о ш в о й р у ч к и H. Если многообразие М n кусочно линейно, то имеет смысл говорить о кусочно линейных ручках, имея в виду кусочную линейность характеристич. отображения. Точно также в случае гладкого многообразия М n можно говорить о гладких ручках. Пусть (H, h)- ручка индекса kв многообразии М n, Р - ее подошва и [img: http://localhost:8080/file/041885-95.jpg] - такое подмногообразие М п, что [img: http://localhost:8080/file/041885-96.jpg]. Операция перехода от многообразия [img: http://localhost:8080/file/041885-97.jpg] к многообразию [img: http://localhost:8080/file/041885-98.jpg] наз. операцией приклеивания ручки индекса k. Вложение [img: http://localhost:8080/file/041885-99.jpg] наз. п р и к л е и в а ю щ и м о т о б р а ж е н и е м. С точностью до неподвижного на [img: http://localhost:8080/file/041885-100.jpg] гомеоморфизма многообразие [img: http://localhost:8080/file/041885-101.jpg] полностью определяется приклеивающим отображением f и не зависит от объемлющего многообразия М. Если f - произвольное вложение [img: http://localhost:8080/file/041885-102.jpg], то результат приклеивания ручки по вложению f можно описать так: [img: http://localhost:8080/file/041885-103.jpg], где отношение эквивалентности [img: http://localhost:8080/file/041885-104.jpg] порождено отождествлением точек [img: http://localhost:8080/file/041885-105.jpg] по вложению f. Операция перехода от [img: http://localhost:8080/file/041885-106.jpg] к [img: http://localhost:8080/file/041885-107.jpg] наз. сферической перестройкой. По аналогии с этим приклеивание ручек наз. иногда п р и с т р о й к а м и. Многообразия, получающиеся приклеиванием ручки по изотопным вложениям, гомеоморфны. На рис. 1 изображено приклеивание трехмерных ручек индексов 1 и 2. Приклеивание к [img: http://localhost:8080/file/041885-108.jpg] ручки индекса 0 состоит в добавлении к [img: http://localhost:8080/file/041885-109.jpg] отдельно взятого шара размерности п. Добавление ручки индекса пзаключается в заклеивании n-мерным шаром одной из компонент [img: http://localhost:8080/file/041885-110.jpg]. Если многообразие [img: http://localhost:8080/file/041886-1.jpg] и приклеивающее вложение [img: http://localhost:8080/file/041886-2.jpg] кусочно линейны, то многообразие [img: http://localhost:8080/file/041886-3.jpg], получающееся приклеиванием ручки по вложению f, также кусочно линейно. В случае гладких [img: http://localhost:8080/file/041886-4.jpg] и f многообразие [img: http://localhost:8080/file/041886-5.jpg] обладает естественной гладкой структурой во всех точках, кроме "угловых" точек, объединение к-рых совпадает с краем подошвы ручки. Эту структуру можно единственным образом продолжить до гладкой структуры на всем [img: http://localhost:8080/file/041886-6.jpg]. Такое продолжение наз. сглаживанием углов. В гладком случае операцию сглаживания углов включают в операцию приклеивания ручки. Приклеивание гладкой ручки полностью определяется приклеивающей сферой вместе с тривиализацией ее нормального расслоения. [img: http://localhost:8080/file/041886-7.jpg] Представление компактного многообразия М п в виде объединения конечного упорядоченного семейства ручек в М n наз. р а з л о ж е н и е м М n н а р у ч к и, если каждая следующая ручка пересекается с объединением предыдущих в точности по своей подошве. Другими словами, М п допускает разложение на ручки, если его можно получить из шара (или из пустого множества) последовательным приклеиванием ручек. Аналогично, под разложением пары [img: http://localhost:8080/file/041886-8.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041886-9.jpg] - подмногообразие многообразия М n, понимается представление М n в виде результата последовательных приклеиваний ручек к [img: http://localhost:8080/file/041886-10.jpg]. В частности, разложением бордизма (W, М0, М1)н а р у ч к и наз. разложение пары [img: http://localhost:8080/file/041886-11.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041886-12.jpg] - воротник М 0. Разложение на ручки некомпактного многообразия М n состоит из бесконечного числа ручек. При этом обычно требуется, чтобы разложение было локально конечным, т. е. чтобы каждый компакт в М п пересекался только с конечным числом ручек. Применяя приведение в общее положение секущих сфер уже приклеенных ручек и подошвенной сферы приклеиваемой ручки и заменяя приклеивающие отображения на изотопные, можно добиться, чтобы ручки одного индекса не пересекались и чтобы индексы последовательно приклеиваемых ручек не убывали. Такое разложение на ручки наз. правильным. Каждое кусочно линейное многообразие раскладывается на кусочно линейные ручки., Если Т - триангуляция М n и Т" - ее второе барицентрическое подразделение, то в качестве ручек индекса kможно взять замкнутые звезды в Т" барицентров k-мерных симплексов Т(см. рис. 2; определение звезды дано в ст. Комплекс). [img: http://localhost:8080/file/041886-13.jpg] Существует тесная связь между разложениями гладкого многообразия М n на гладкие ручки и гладкими функциями на М n с невырожденными критич. точками - Морса функциями. Эта связь заключается в следующем. Пусть х 0 - такая критич. точка индекса k функции Морса [img: http://localhost:8080/file/041886-14.jpg], что для нек-рого e > 0 в прообразе отрезка [f(x0)-e, f(x0) + e] нет других критич. точек, и пусть [img: http://localhost:8080/file/041886-15.jpg]. Тогда многообразие [img: http://localhost:8080/file/041886-16.jpg] получается из многообразия [img: http://localhost:8080/file/041886-17.jpg] приклеиванием гладкой ручки индекса k. Таким образом, каждая функция Морса на компактном многообразии М п порождает разложение М n па гладкие ручки, причем число ручек индекса kв этом разложении совпадает с числом критич. точек индекса k. Этим доказывается существование разложения любого гладкого многообразия на гладкие ручки. Обратно, каждое разложение М п на гладкие ручки порождено нек-рой функцией Морса на М n. Сложнее обстоит дело с разложением на ручки топологич. многообразий. Известно, что любое замкнутое топологич. многообразие размерности [img: http://localhost:8080/file/041886-18.jpg] раскладывается на топологич. ручки. Многообразия размерности [img: http://localhost:8080/file/041886-19.jpg] комбинаторно триангулируемы и поэтому раскладываются на ручки. Доказано, что существует многообразие размерности 4, не допускающее разложения на ручки. Если в правильном разложении на ручки многообразия М n последовательно стянуть все ручки на их срединные диски, то получится клеточное пространство K. Каждой ручке индекса kв разложении М п отвечает k-мерная клетка в клеточном разбиении пространства K. Пространство Kимеет тот же гомотопический тип, что и М n. В случае замкнутого М n пространство Kсовпадает с М n. Из определения ручки следует, что каждая n-мерная ручка Ниндекса kявляется одновременно ручкой индекса п-k. Если [img: http://localhost:8080/file/041886-20.jpg] - подошва H как ручки индекса k,a [img: http://localhost:8080/file/041886-21.jpg] - подошва Нкак ручки индекса п-k, то [img: http://localhost:8080/file/041886-22.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041886-23.jpg] Каждое разложение замкнутого многообразия Mn на ручки порождает т. н. двойственное разложение М п на ручки. Двойственное разложение состоит из взятых в обратном порядке ручек исходного разложения, причем каждая ручка индекса kсчитается уже ручкой индекса п-k. Этот факт служит геометрич. основой Пуанкаре двойственности. Если многообразие М n имеет край, то двойственное разложение можно рассматривать как разложение пары [img: http://localhost:8080/file/041886-24.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041886-25.jpg]. Пусть H1, Н2 - непересекающиеся ручки индекса k, приклеенные к многообразию М n с односвязным краем по вложениям [img: http://localhost:8080/file/041886-26.jpg]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041886-27.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041886-28.jpg], а [f] обозначает элемент группы [img: http://localhost:8080/file/041886-29.jpg], определяемый отображением f. Тогда вложение f2 изотопно в [img: http://localhost:8080/file/041886-30.jpg] такому вложению [img: http://localhost:8080/file/041886-31.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041886-32.jpg], что [f'2] = [f1]+[f2]. Это означает, что многообразия [img: http://localhost:8080/file/041886-33.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041886-34.jpg], где Н'2 - ручка, приклеенная по вложению. f'2, гомеоморфны. Операция перехода от многообразия [img: http://localhost:8080/file/041886-35.jpg] к многообразию [img: http://localhost:8080/file/041886-36.jpg] наз. сложением ручек. Пусть многообразие [img: http://localhost:8080/file/041886-37.jpg] получено из многообразия [img: http://localhost:8080/file/041886-38.jpg] последовательным приклеиванием ручки Н 1 индекса k и ручки Н 2 индекса k+1 так, что подошвенная сфера ручки Н 2 трансверсально пересекает секущую сферу ручки Н 1 ровно в одной точке. Тогда эту пару ручек можно устранить. Это означает, что существует гомеоморфизм [img: http://localhost:8080/file/041886-39.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/041886-40.jpg], неподвижный вне окрестности [img: http://localhost:8080/file/041886-41.jpg]. Операция устранения иногда наз. сокращением дополнительных ручек. Сложение ручек и сокращение ручек можно производить, оставаясь в рамках кусочно линейной или гладкой категории. С помощью сокращения ручек индексов 0 и 1 можно, напр., любое разложение на ручки связного компактного многообразия М n заменить на разложение с ровно одной ручкой индекса 0. Если М п односвяяно и п> 5, то, складывая и сокращая ручки, можно любое разложение на ручки свести к разложению с минимальным числом ручек, совместимым с гомологич. структурой М п. Пусть (Н, h) - топологич. ручка индекса kв кусочно линейном многообразии М n, причем характеристич. отображение hкусочно линейно в окрестности [img: http://localhost:8080/file/041886-42.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041886-43.jpg]. Существует ли неподвижная на окрестности [img: http://localhost:8080/file/041886-44.jpg] изотопия отображения h, выпрямляющая ручку Н, т. е. переводящая ее в кусочно линейную ручку? Если бы ответ на этот вопрос был всегда положительным, то на каждом топологич. многообразии можно было бы ввести кусочно линейную структуру, согласовывая структуры на координатных окрестностях с помощью выпрямления кусочно линейных ручек одной окрестности внутри другой. На самом деле ответ зависит от индекса kи размерности пручки Н. Если [img: http://localhost:8080/file/041886-45.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/041886-46.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041886-47.jpg], то любая ручка выпрямляема. Известно, что при [img: http://localhost:8080/file/041886-48.jpg] существуют невыпрямляемые ручки индекса 3, причем препятствие к выпрямлению лежит в группе [img: http://localhost:8080/file/041886-49.jpg]. В размерности 4 ручки индексов 0 и 1 выпрямляемы, а индексов 2 и 3, вообще говоря, нет. Препятствием к сглаживанию кусочно линейных ручек служат т. н. группы Милнора [img: http://localhost:8080/file/041886-50.jpg]