Самосопряженное дифференциальное уравнение

- линейное обыкновенное дифференциальное уравнение l(у)=0, совпадающее с сопряженным дифференциальным уравнением l* (у)=0. Здесь [img: http://localhost:8080/file/041901-9.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041901-10.jpg] С m(I)-пространство траз непрерывно дифференцируемых комплекснозначных функций на I= (a, b); черта означает операцию комплексного сопряжения. Левая часть всякого С. д. у. l(y)=0есть сумма выражений вида [img: http://localhost:8080/file/041901-11.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041901-12.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041901-13.jpg] - действительнозначные достаточно гладкие функции, i2= - 1. С. д. у. с действительными коэффициентами - обязательно четного порядка и имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041901-14.jpg] (см. [1] - [3]). Линейная система дифференциальных уравнений [img: http://localhost:8080/file/041901-15.jpg] с непрерывной комплекснозначной [img: http://localhost:8080/file/041901-16.jpg] -матрицей A(t)наз. с а м о с о п р я ж е н н о й, если А(t) =-A*(t), где A*(t)-эрмитово сопряженная матрица к матрице A(t)(см. [1], [4]). Это определение не согласовано с определением С. д. у. Напр., система [img: http://localhost:8080/file/041901-17.jpg] эквивалентная С. д. у. [img: http://localhost:8080/file/041901-18.jpg] - самосопряженная только в том случае, если [img: http://localhost:8080/file/041901-19.jpg] Краевая задача (1) [img: http://localhost:8080/file/041901-20.jpg] (2) где [img: http://localhost:8080/file/041901-21.jpg] - линейные и линейно независимые функционалы, описывающие краевые условия, наз. с а м о с о п р я ж е н н о й, если она совпадает со своей сопряженной краевой задачей, то есть (1) - С. д. у., а [img: http://localhost:8080/file/041901-22.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/041901-23.jpg] и всех k=1,..., n (см. [1] - [3], [5]). Если (1), (2) - самосопряженная краевая задача, то справедливо равенство (см. Грина формулы) [img: http://localhost:8080/file/041901-24.jpg] Для любой пары функций [img: http://localhost:8080/file/041901-25.jpg], удовлетворяющей краевым условиям (2). Все собственные значения самосопряженной задачи [img: http://localhost:8080/file/041901-26.jpg] действительны, а собственные функции j1, j2, отвечающие различным собственным значениям l1,l2, ортогональны [img: http://localhost:8080/file/041901-27.jpg] Линейная краевая задача [img: http://localhost:8080/file/041901-28.jpg] (3) где A(t) - непрерывная комплекснозначная [img: http://localhost:8080/file/041901-29.jpg] матрица, Uесть n-вектор-функционал на пространстве [img: http://localhost:8080/file/041901-30.jpg] непрерывных комплекснозначных функций х: [img: http://localhost:8080/file/041901-31.jpg], наз. с а м о с о п р я ж е н н о й, если она совпадает со своей сопряженной краевой задачей, [img: http://localhost:8080/file/041901-32.jpg] т. е. [img: http://localhost:8080/file/041901-33.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/041901-34.jpg]. Самосопряженная краевая задача обладает свойствами, аналогичными свойствам задачи (1), (2) (см. [4]). Понятия С. д. у. и самосопряженной краевой задачи тесно связаны с понятием самосопряженного оператора [6]. С. д. у. и самосопряженная краевая задача определяются также для линейного уравнения с частными производными (см. [5], [7]).