Свертка

ф у н к ц и й f (x) и g (x), принадлежащих [img: http://localhost:8080/file/041901-48.jpg],- функция h(x), определяемая равенством [img: http://localhost:8080/file/041901-49.jpg] и обозначаемая символом (f*g)(x). Функция f*g определена почти всюду и также принадлежит [img: http://localhost:8080/file/041901-50.jpg] Свертка обладает основными свойствами операции умножения, а именно: [img: http://localhost:8080/file/041901-51.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041901-52.jpg] для любых трех функций из [img: http://localhost:8080/file/041901-53.jpg]. Поэтому [img: http://localhost:8080/file/041901-54.jpg] с обычным сложением и умножением на число, с операцией С. в качестве умножения элементов из [img: http://localhost:8080/file/041901-55.jpg] и с нормой [img: http://localhost:8080/file/041901-56.jpg] превращается в банахову алгебру (при такой норме [img: http://localhost:8080/file/041901-57.jpg]. Если F[f] - преобразование Фурье функции f, то [img: http://localhost:8080/file/041901-58.jpg] и это используется при решении ряда прикладных задач. Так, если задача сведена к интегральному уравнению вида [img: http://localhost:8080/file/041901-59.jpg] (*) где [img: http://localhost:8080/file/041901-60.jpg] то в предположении, что [img: http://localhost:8080/file/041901-61.jpg], применяя к уравнению (*) преобразование Фурье, получают [img: http://localhost:8080/file/041901-62.jpg] откуда [img: http://localhost:8080/file/041901-63.jpg] и обратное преобразование Фурье приводит к решению [img: http://localhost:8080/file/041901-64.jpg] уравнения (*). Свойства С. функций находят важные приложения в теории вероятностей. Если f(x)и g(x)являются плотностями вероятности независимых случайных величин Xи Y, то С. (f*g)xесть плотность вероятности случайной величины X+Y. Операция С. распространяется на обобщенные функции. Если fи g - обобщенные функции, из к-рых по крайней мере одна имеет компактный носитель, и j (х)принадлежит пространству основных функций, то f*g определяется равенством [img: http://localhost:8080/file/041901-65.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041901-66.jpg] - прямое произведение обобщенных функций f и g,т. е. функционал в пространстве основных функций двух независимых переменных такой, что [img: http://localhost:8080/file/041901-67.jpg] для любой финитной бесконечно дифференцируемой функции и(х, у). С. обобщенных функций также обладает свойством коммутативности, линейности по каждому аргументу, а если по крайней мере две из трех обобщенных функций имеют компактные носители, то и свойством ассоциативности. Справедливы равенства: [img: http://localhost:8080/file/041901-68.jpg] где Dоператор дифференцирования и a - любой мультииндекс, [img: http://localhost:8080/file/041901-69.jpg], в частности [img: http://localhost:8080/file/041901-70.jpg], где d - дельта-функция, и если fn, n=1, 2,...,- обобщенные функции такие, что [img: http://localhost:8080/file/041901-71.jpg] и существует компакт [img: http://localhost:8080/file/041901-72.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/041901-73.jpg] Наконец, если g - финитная обобщенная функция и f - обобщенная функция медленного роста, то к f*g применимо преобразование Фурье и снова [img: http://localhost:8080/file/041901-74.jpg] С. обобщенных функций широко используется при решении краевых задач для уравнений с частными производными. Так, интеграл Пуассона, написанный в виде [img: http://localhost:8080/file/041901-75.jpg] дает решение уравнения теплопроводности для бесконечного стержня, когда начальная температура m(х)может быть не только обычной, но и обобщенной функцией. Понятие С. как обычных, так и обобщенных функций естественным образом переносится на случай функций многих независимых переменных: надо в предыдущем считать х, у не действительными числами, а векторами из [img: http://localhost:8080/file/041901-76.jpg]