Сверхсходимость

- сходимость нек-рой подпоследовательности частных сумм ряда в области, большей, чем область сходимости ряда. Имеют место следующие т е о р е м ы о с в е р х с х о д и м о с т и: 1) если в степенном ряде [img: http://localhost:8080/file/041901-87.jpg] с радиусом сходимости [img: http://localhost:8080/file/041901-88.jpg], показатели ln таковы, что для бесконечного множества значений п v индекса п [img: http://localhost:8080/file/041901-89.jpg] где q - фиксированное положительное число, то последовательность частных сумм порядков п v [img: http://localhost:8080/file/041901-90.jpg] сходится равномерно в достаточно малой окрестности каждой точки z0 окружности [img: http://localhost:8080/file/041901-91.jpg], в к-рой сумма ряда f(z) регулярна; 2) если [img: http://localhost:8080/file/041901-92.jpg] то последовательность [img: http://localhost:8080/file/041901-93.jpg] сходится равномерно в любой замкнутой ограниченной части области существования функции f (z). Имеет место и следующая теорема (обратная первой теореме): если у степенного ряда [img: http://localhost:8080/file/041901-94.jpg] с радиусом сходимости [img: http://localhost:8080/file/041901-95.jpg], имеется подпоследовательность частных сумм, к-рая равномерно сходится в нек-рой окрестности точки [img: http://localhost:8080/file/041901-96.jpg], то данный степенной ряд может быть представлен суммой ряда с радиусом сходимости, большим [img: http://localhost:8080/file/041901-97.jpg], и лакунарного степенного ряда [img: http://localhost:8080/file/041901-98.jpg] Первые теоремы верны и для многих других рядов, в частности для рядов Дирихле.