Свободная ассоциативная алгебра

алгебра [img: http://localhost:8080/file/041902-20.jpg] многочленов (со свободными членами) над полем k от некоммутирующих переменных X. Свойство универсальности определяет алгебру [img: http://localhost:8080/file/041902-21.jpg] единственным с точностью до изоморфизма образом: существует отображение [img: http://localhost:8080/file/041902-22.jpg] такое, что любое отображение Xв нек-рую ассоциативную алгебру Ас единицей над k можно единственным образом пропустить через отображение i. Основные свойства алгебры [img: http://localhost:8080/file/041902-23.jpg]: 1) алгебра [img: http://localhost:8080/file/041902-24.jpg] вложима в тело (теорема Мальцева - Неймана); 2) алгебра [img: http://localhost:8080/file/041902-25.jpg] обладает слабым алгоритмом деления, т. е. из соотношения [img: http://localhost:8080/file/041902-26.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041902-27.jpg], все [img: http://localhost:8080/file/041902-28.jpg], не равны нулю, [img: http://localhost:8080/file/041902-29.jpg], всегда следует, что существуют целое число [img: http://localhost:8080/file/041902-30.jpg], и элементы с 1,...,с r_1 такие, что [img: http://localhost:8080/file/041902-31.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041902-32.jpg] (здесь d(a) - обычная степень многочлена [img: http://localhost:8080/file/041902-33.jpg]; [img: http://localhost:8080/file/041902-34.jpg], 3) алгебра [img: http://localhost:8080/file/041902-35.jpg] является левым (правым) кольцом свободных идеалов (т. е. любой левый (правый) идеал алгебры [img: http://localhost:8080/file/041902-36.jpg] является свободным модулем однозначно определенного ранга); 4) централизатор любого нескалярного элемента алгебры [img: http://localhost:8080/file/041902-37.jpg] (т. е. множество элементов, перестановочных с данным) изоморфен алгебре многочленов над kот одного переменного (т е о р е м а Б е р г м а н а).