Сдвиги полугрупп

-преобразования полугрупп, удовлетворяющие специальным условиям: правым сдвигом полугруппы S наз. преобразование r такое, что дли любых [img: http://localhost:8080/file/041903-133.jpg] имеет место (ху)r=х(yr); левый сдвиг определяется симметричным образом, при этом ради удобства левые сдвиги чаще записывают как левые операторы. Таким образом, л е в ы й с д в и г полугруппы S - такое ее преобразование l, что для любых [img: http://localhost:8080/file/041903-134.jpg] имеет место l(ху) =(lх) у. Соответственно последовательность выполнения двух левых сдвигов в произведении (см. Преобразований полугруппа)осуществляется справа налево. Произведение двух левых (правых) С. п. само будет левым (правым) С. п., так что множество [img: http://localhost:8080/file/041903-135.jpg] (соответственно Р(S))всех левых (правых) С. п. Sбудет подполугруппой симметрич. полугруппы [img: http://localhost:8080/file/041903-136.jpg]. Для произвольного элемента [img: http://localhost:8080/file/041903-137.jpg] преобразование la(ra), заданное формулой [img: http://localhost:8080/file/041903-138.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041903-139.jpg] является левым (правым) сдвигом, соответствующим элементу а. Он наз. в н у т р е н н и м л е в ы м (п р а в ы м) с д в и г о м. Множество [img: http://localhost:8080/file/041903-140.jpg] (соответственно P0(S))всех внутренних левых (правых) С. п. Sесть левый идеал в [img: http://localhost:8080/file/041903-141.jpg] (правый идеал в Р(S)). Левый сдвиг lи правый сдвиг r полугруппы Sназ. с в я з а н н ы м и, если х(lу)=(хr)удля любых х, [img: http://localhost:8080/file/041903-142.jpg];в этом случае пару (l,r) наз. б и с д в и г о м S. Для любого [img: http://localhost:8080/file/041903-143.jpg] пара (l а, r а) есть бисдвиг; он наз. в н у т р е н н и м б и с д в и г о м, соответствующим элементу а. Вполугруппах с единицей и только в них всякий бисдвиг внутренний. Множество Т(S)всех бисдвигов полугруппы Sесть подполугруппа декартова произведения [img: http://localhost:8080/file/041903-144.jpg]; она наз. сдвиговой оболочкой полугруппы S. Множество Т 0 (S)всех внутренних бисдвигов есть идеал в Т (S);он наз. в н у т р е н н е й ч а с т ь ю Т(S). Отображение [img: http://localhost:8080/file/041903-145.jpg], заданное формулой [img: http://localhost:8080/file/041903-146.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041903-147.jpg], есть гомоморфизм Sна Т 0(S), называемый каноническим. Полугруппа Sназ. слабо редуктивной, если для любых [img: http://localhost:8080/file/041903-148.jpg] из того, что ах=bх и ха=хb для всех [img: http://localhost:8080/file/041903-149.jpg], следует а=b;т. е. канонич. гомоморфизм полугруппы Sесть изоморфизм. Если Sслабо редуктивна, то Т (S)совпадает с идеализатором Т 0 (S)в [img: http://localhost:8080/file/041903-150.jpg], т. е. с наибольшей подполугруппой из [img: http://localhost:8080/file/041903-151.jpg], содержащей Т 0(S) в качестве идеала. С. п. и, в частности, сдвиговые оболочки играют существенную роль при изучении идеальных расширений полугрупп. Роль сдвиговой оболочки при этом в известной степени аналогична роли голоморфа группы в теории групп.