Семимартингал

- стохастический процесс, представимый в виде суммы локального мартингала и процесса локально ограниченной вариации. При формальном определении С. исходят из допущения, что все рассмотрения ведутся на стохастич. базисе [img: http://localhost:8080/file/041905-33.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041905-34.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041905-35.jpg]. Стохастич. процесс [img: http://localhost:8080/file/041905-36.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041905-37.jpg] наз. семимартингалом, если его траектории непрерывны справа и имеют пределы слева и он представим в виде Xt=Mt+Vt, где [img: http://localhost:8080/file/041905-38.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041905-39.jpg] - локальный мартингал, а [img: http://localhost:8080/file/041905-40.jpg] - процесс локально ограниченной вариации, т. е. [img: http://localhost:8080/file/041905-41.jpg] Такое представление, вообще говоря, неоднозначно. Однако в классе разложений с предсказуемыми процессами V рассматриваемое представление единственно (с точностью до стохастич. эквивалентности). К классу С. относятся (помимо локальных мартингалов и процессов с локально ограниченными вариациями) локальные супермартингалы и субмартингалы, процессы Xс независимыми приращениями, для к-рых функция [img: http://localhost:8080/file/041905-42.jpg] является функцией локально ограниченной вариации для любого [img: http://localhost:8080/file/041905-43.jpg] (и значит - все процессы со стационарными независимыми приращениями), процессы Ито, процессы диффузионного типа и др. Класс С. инвариантен относительно эквивалентной замены меры. Если Xесть С., a f=f(x) - дважды непрерывно дифференцируемая функция, то [img: http://localhost:8080/file/041905-44.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/041905-45.jpg] также С. При этом (ф о р м у л а И т о) [img: http://localhost:8080/file/041905-46.jpg] или, что эквивалентно, [img: http://localhost:8080/file/041905-47.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041905-48.jpg] - квадратич. вариация семимартингала X, то есть [img: http://localhost:8080/file/041905-49.jpg] - непрерывная часть квадратич. вариации [X, X], [img: http://localhost:8080/file/041905-50.jpg], а рассматриваемые интегралы понимаются как стохастич. интегралы по С. Если Xесть С., то процесс [img: http://localhost:8080/file/041905-51.jpg] с [img: http://localhost:8080/file/041905-52.jpg] имеет ограниченные скачки, [img: http://localhost:8080/file/041905-53.jpg], и в силу этого он допускает единственное представление вида [img: http://localhost:8080/file/041905-54.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041905-55.jpg] - предсказуемый процесс локально ограниченной вариации, а [img: http://localhost:8080/file/041905-56.jpg] -локальный мартингал. Этот мартингал однозначным образом представим как M=Mc+Md, где [img: http://localhost:8080/file/041905-57.jpg] - непрерывный локальный мартингал (непрерывная мар-тингальная составляющая семимартингала X),а [img: http://localhost:8080/file/041905-58.jpg] - чисто разрывный локальный мартингал, к-рый может быть записан в виде [img: http://localhost:8080/file/041905-59.jpg] где dm=m(w, dt, dx) - случайная мера скачков семимартингала X, то есть [img: http://localhost:8080/file/041905-60.jpg] a dv=v(w, dt, dx) - ее компенсатор. Поскольку [img: http://localhost:8080/file/041905-61.jpg] то всякий семимартингал X допускает представление [img: http://localhost:8080/file/041905-62.jpg] к-рое наз. каноническим представлением (р а з л о ж е н и е м). Набор (предсказуемых) характеристик [img: http://localhost:8080/file/041905-63.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041905-64.jpg] - квадратич. характеристика М с,т. е. такой предсказуемый возрастающий процесс, что [img: http://localhost:8080/file/041905-65.jpg] является локальным мартингалом, наз. т р и п л е т о м локальных (предсказуемых) характеристик X.