Сжимающих отображении принцип

сжатых отображении принцип,- теорема, утверждающая существование и единственность неподвижной точки у отображения f полного метрич. пространства (X,r) (или замкнутого подмножества такого пространства) в себя, если для любых х', х" выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/041906-166.jpg] (1) где 0<q<1. Этот принцип широко используется для доказательства существования и единственности решения не только уравнения вида f(x)=x, но и уравнений f(x)=y путем замены такого уравнения на эквивалентное: [img: http://localhost:8080/file/041906-167.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041906-168.jpg]. Схема применения С. о. п. обычно такова: исходя из свойств отображением f находят сначала замкнутое множество [img: http://localhost:8080/file/041906-169.jpg], обычно замкнутый шар, такое, что [img: http://localhost:8080/file/041906-170.jpg], а затем доказывают, что на этом множестве f является отображением сжатия. После этого, отправляясь от произвольного элемента [img: http://localhost:8080/file/041906-171.jpg], строят последовательность {sn}, xn=f(xn-1), n=1, 2,..., принадлежащую М, к-рая сходится к нек-рому элементу [img: http://localhost:8080/file/041906-172.jpg]. Это и будет единственное решение уравнения f(x)=x, а х п будут последовательными приближениями решения. В общем случае условие (1) нельзя заменить условием [img: http://localhost:8080/file/041906-173.jpg] (2) однако если это условие выполняется на компактном множестве K, к-рое f отображает в себя, то условие (2) обеспечивает у f существование единственной неподвижной точки [img: http://localhost:8080/file/041906-174.jpg]. Имеет место следующее обобщение С. о. п. Пусть снова f отображает полное метрич. пространство Xв себя и [img: http://localhost:8080/file/041906-175.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041906-176.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041906-177.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/041906-178.jpg]. Тогда отображение f имеет на Xединственную неподвижную точку.