Сильно непрерывная полугруппа

семейство линейных ограниченных операторов T(t), t>0, в банаховом пространстве X, обладающее свойствами: 1) [img: http://localhost:8080/file/041906-188.jpg] 2) функции Т(t)xнепрерывны на [img: http://localhost:8080/file/041906-189.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041906-190.jpg] при любом При выполнении 1) из измеримости всех функций [img: http://localhost:8080/file/041906-191.jpg], и, в частности, из односторонней (справа или слева) слабой непрерывности следует сильная непрерывность T(t). Для С. н. п. конечное число [img: http://localhost:8080/file/041906-192.jpg] наз. т и п о м п о л у г р у п п ы. Таким образом, нормы всех функций Т(t)xрастут на [img: http://localhost:8080/file/041906-193.jpg] не быстрее экспоненты [img: http://localhost:8080/file/041906-194.jpg]. Классификация С. н. п. основана на их поведении при [img: http://localhost:8080/file/041906-195.jpg]. Если существует такой ограниченный оператор J, что [img: http://localhost:8080/file/041906-196.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041906-197.jpg] то J - проекционный оператор и [img: http://localhost:8080/file/041906-198.jpg], где А - ограниченный линейный оператор, коммутирующий с J. В этом случае Т(t)непрерывна по норме операторов. Если J=J, то [img: http://localhost:8080/file/041906-199.jpg],- равномерно непрерывная группа операторов. Если [img: http://localhost:8080/file/041906-200.jpg] при каждом [img: http://localhost:8080/file/041906-201.jpg], то J- также проекционный оператор, проектирующий Xна подпространство Х 0 - замыкание объединения всех значений [img: http://localhost:8080/file/041906-202.jpg]. Для того чтобы J существовал и равнялся J, необходимо и достаточно, чтобы [img: http://localhost:8080/file/041906-203.jpg] была ограничена на (0,1) и чтобы Х 0=Х. В этом случае полугруппа T(t),доопределенная равенством T(0)=I, сильно непрерывна при [img: http://localhost:8080/file/041906-204.jpg] (удовлетворяет С 0 -у с л о в и ю). Для более широких классов полугрупп предельное соотношение [img: http://localhost:8080/file/041906-205.jpg] выполняется в обобщенном смысле: [img: http://localhost:8080/file/041906-206.jpg] (суммируемость по Чезаро, С 1 -у с л о в и е), или [img: http://localhost:8080/file/041906-207.jpg] (суммируемость по Абелю, А-условие). При этом предполагается, что функции [img: http://localhost:8080/file/041906-208.jpg], интегрируемы на [0,1] (а значит, и на любом конечном отрезке). Поведение С. н. п. при [img: http://localhost:8080/file/041907-1.jpg] может быть совсем нерегулярным. Напр., функции [img: http://localhost:8080/file/041907-2.jpg] могут иметь при t=0степенную особенность. Для плотного в Х 0 множества элементов хфункции Т(t)xдифференцируемы на [img: http://localhost:8080/file/041907-3.jpg]. Важную роль играют С. н. п., для к-рых функции Т(t)xдифференцируемы при всех хдля t>0. В этом случае оператор Т'(t)ограничен при каждом tи его поведение при [img: http://localhost:8080/file/041907-4.jpg] дает новые возможности для классификации полугрупп. Выделены классы С. н. п., для к-рых Т(t)допускает голоморфное продолжение в сектор комплексной плоскости, содержащий полуось [img: http://localhost:8080/file/041907-5.jpg]. См. Полугруппа операторов, Производящий оператор полугруппы.