Симметрирование

с и м м е т р и з а ц и я,- одна из операций тензорной алгебры, при помощи к-рой но данному тензору строится симметричный (по группе индексов) тензор. С. всегда производится над несколькими верхними или нижними индексами. Тензор S с координатами [img: http://localhost:8080/file/041907-138.jpg] является результатом С. тензора Тс координатами [img: http://localhost:8080/file/041907-139.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041907-140.jpg] по тверхним индексам, напр. по группе индексов I= (i1, i2,..., im), если [img: http://localhost:8080/file/041907-141.jpg] (*) Здесь суммирование производится по всем т!перестановкам a=(a1, a2,..., a т)группы индексов I. С. по группе нижних индексов определяется аналогично. С. по группе индексов обозначается взятием этих индексов в круглые скобки (). Посторонние индексы (не участвующие в С.) отделяются вертикальными черточками. Напр., [img: http://localhost:8080/file/041907-142.jpg] Последовательное С. по группам индексов I1 и I2, [img: http://localhost:8080/file/041907-143.jpg], совпадает с С. по группе индексов I2. Другими словами, если [img: http://localhost:8080/file/041907-144.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/041907-145.jpg] (внутренние скобки снимаются). Тензор, не изменяющийся при С. по нек-рой группе индексов, наз. симметрическим тензором. С. по нек-рой группе индексов тензора, альтернированного (см. Альтернирование)по этой группе, дает нулевой тензор. Умножение двух и более тензоров с последующим С. их произведения по всем индексам наз. симметрическим умножением. С. тензоров, наряду с операцией альтернирования, применяется для разложения тензора на тензоры более простого строения. С. применяется также для образования сумм вида (*) с многоиндексными слагаемыми. Напр., если элементы матрицы / [img: http://localhost:8080/file/041907-146.jpg] коммутируют при умножении, то выражение [img: http://localhost:8080/file/041907-147.jpg] наз. п е р м а н е н т о м м а т р и ц ы.