Симметрическая алгебра

обобщение алгебры многочленов. Если М - унитарный модуль над коммутативно-ассоциативным кольцом Ас единицей, то С. а. модуля Мназ. алгебра S(M)=T(M)/I, где Т(М) - тензорная алгебра модуля М, I - ее идеал, порожденный элементами вида [img: http://localhost:8080/file/041907-148.jpg]. С. а.- коммутативно-ассоциативная А-алгебра с единицей; она градуирована: [img: http://localhost:8080/file/041907-149.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041907-150.jpg], причем S0(M)=A, S1 (М)= М. Модуль SP (М)наз. р-й симметрической степенью модуля М. Если М - свободный модуль с конечным базисом х 1,..., х n, то соответствие [img: http://localhost:8080/file/041908-1.jpg] продолжается до изоморфизма алгебры S(М).на алгебру многочленов A[X1,..., Х п](см. Многочленов кольцо). Для любого гомоморфизма А- модулей [img: http://localhost:8080/file/041908-2.jpg] р-я тензорная степень [img: http://localhost:8080/file/041908-3.jpg] индуцирует гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/041908-4.jpg] (р-я симметрическая степень гомоморфизма f). Получается гомоморфизм А-алгебр S(f):S(М) [img: http://localhost:8080/file/041908-5.jpg] S(N). Соответствия [img: http://localhost:8080/file/041908-6.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041908-7.jpg] являются соответственно ковариантными функторами из категории A-модулей в себя и в категорию А- алгебр. Для любых двух A-модулей Ми Nимеет место естественный изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/041908-8.jpg]. Если М - векторное пространство над полем характеристики 0, то симметрирование [img: http://localhost:8080/file/041908-9.jpg] определяет изоморфизм С. a. S(M).на алгебру [img: http://localhost:8080/file/041908-10.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041908-11.jpg] симметрических контравариантных тензоров на Мотносительно симметрич. умножения: [img: http://localhost:8080/file/041908-12.jpg]