Симметрический многочлен

многочлен f с коэффициентами из нек-рого поля или ассоциативно-коммутативного кольца Кс единицей, являющийся симметрической функцией от своих переменных, т. е. инвариантный при любых подстановках переменных: [img: http://localhost:8080/file/041908-50.jpg] (*) С. м. образуют алгебру S(х 1,..., х п).над К. Важнейшие примеры С. м.- элементарные симметрические многочлены [img: http://localhost:8080/file/041908-51.jpg] и степенные суммы, т. е. многочлены [img: http://localhost:8080/file/041908-52.jpg] Для выражения степенных сумм р k(х 1,..., х п) в виде многочленов от элементарных симметрич. многочленов имеются рекуррентные формулы, называемые формулами Ньютона: [img: http://localhost:8080/file/041908-53.jpg] Элементарные С. м. от корней произвольного многочлена одной переменной со старшим коэффициентом 1 с точностью до знака совпадают с остальными коэффициентами этого многочлена (см. Виета теорема). Основная теорема о симметрических многочленах: каждый С. м. является многочленом от элементарных С. м., причем представим в этом виде единственным образом. Другими словами, элементарные С. м. являются свободной системой образующих алгебры S(х 1,..., х п). Если поле имеет характеристику 0, то многочлены р 1,..., р п также являются системой свободных образующих алгебры S(x1,..., хД). Кососимметрическим, или знакопеременным, многочленом наз. многочлен f(x1,..., х п), удовлетворяющий соотношению (*), если подстановка p четная, и соотношению [img: http://localhost:8080/file/041908-54.jpg] если p нечетная. Любой кососимметрич. многочлен представил: в виде Dng, где gесть С. м., а [img: http://localhost:8080/file/041908-55.jpg] Это представление не однозначно, поскольку имеется соотношение [img: http://localhost:8080/file/041908-56.jpg]