Симметричная алгебра

алгебра Енад полем комплексных чисел, снабженная инволюцией [img: http://localhost:8080/file/041908-87.jpg]. Примерами С. а. являются: алгебра непрерывных функций на компакте, в к-рой инволюция определяется как переход к комплексно-сопряженной функции; алгебра ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве, в к-рой инволюция определяется как переход к сопряженному оператору; групповая алгебра локально компактной группы; алгебра мер на локально компактной группе. Элемент х* алгебры Еназ. сопряженным к элементу х;элемент [img: http://localhost:8080/file/041908-88.jpg] наз. самосопряженным, или эрмитовым, если х*=х, и нормальным, если х*х=хх*;. если алгебра Есодержит единичный элемент 1, то элемент [img: http://localhost:8080/file/041908-89.jpg], удовлетворяющий условию х*х=хх*=1, наз. унитарным. Множество Е h эрмитовых элементов алгебры есть действительное векторное подпространство в Е, и любой элемент [img: http://localhost:8080/file/041908-90.jpg] однозначно представляется в виде х=х 1+iх 2, где x1, [img: http://localhost:8080/file/041908-91.jpg]; элемент [img: http://localhost:8080/file/041908-92.jpg] нормален тогда и только тогда, когда элементы x1, x2 перестановочны. Всякий элемент вида х*х эрмитов; единичный элемент эрмитов. Если хобратим, то х* также обратим и (х*)-1=(x-1)*. Спектр каждого эрмитова элемента симметричен относительно действительной оси. С. а. Еназ. вполне симметричной алгеброй, если спектр любого элемента вида [img: http://localhost:8080/file/041908-93.jpg], содержится в множестве неотрицательных действительных чисел. Примерами вполне симметричных алгебр являются: С. а. непрерывных функций на компакте; С. а. ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве; групповые алгебры компактных и коммутативных локально компактных групп. Групповые алгебры некомпактных полупростых групп Ли не являются вполне симметричными. Коммутативная С. а. Етогда и только тогда вполне симметрична, когда все максимальные идеалы в Есимметричны, или тогда и только тогда, когда всякий характер коммутативной алгебры Еэрмитов. Любая С*-алгебра вполне симметрична. Подмножество МС. а. Епаз. симметричным, если [img: http://localhost:8080/file/041908-94.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/041908-95.jpg]. Отображение ср С. а.' Е в С. a. Fназ. симметричным, если <р (x)* =(f(x*).для всех [img: http://localhost:8080/file/041908-96.jpg]. Ядро симметричного гомоморфизма С. а. Eв С. a. Fесть симметричный двусторонний идеал; всякий симметричный односторонний идеал является двусторонним, и факторалгебра С. а. по симметричному идеалу естественно снабжается структурой С. а. Радикал С. а. симметричен. Симметричная подалгебра Fв С. а. Еявляется С. а. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041908-97.jpg] -прямая сумма С..а. Еи поля [img: http://localhost:8080/file/041908-98.jpg], в к-рой линейные операции и инволюция определяются покомпонентно, а умножение определяется формулой [img: http://localhost:8080/file/041908-99.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/041908-100.jpg] тогда [img: http://localhost:8080/file/041908-101.jpg] есть С. а. с единичным элементом. Линейный функционал / на С. а. наз. э р м и т о-в ы м, если [img: http://localhost:8080/file/041908-102.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/041908-103.jpg], и положительным, если [img: http://localhost:8080/file/041908-104.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/041908-105.jpg]. Множество Eh эрмитовых линейных функционалов на Еесть действительное векторное подпространство пространства Е', сопряженного Е, к Е' есть прямая сумма подпространств Eh и iE'h. Если Есодержит единицу 1, то всякий положительный функционал / на Еэрмитов и [img: http://localhost:8080/file/041908-106.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/041908-107.jpg]. Если / - положительный функционал на С. а. Е, то f(y*x)=f(x*y).и [img: http://localhost:8080/file/041908-108.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/041908-109.jpg] Пусть С. а. Еснабжена нормой, превращающей Ев нормированную алгебру и удовлетворяющей условию х*||= x для всех [img: http://localhost:8080/file/041908-110.jpg]; тогда Еназ. нормирование ЙС. а. Если Еполна относительно рассматриваемой нормы, то Еназ. банаховой С. а. Всякая нормированная С. а. Е может быть вложена в нек-рую банахову С. а. [img: http://localhost:8080/file/041908-111.jpg], содержащую Екак плотную симметричную подалгебру; [img: http://localhost:8080/file/041908-112.jpg] определена однозначно с точностью до изометрического симметричного изоморфизма: [img: http://localhost:8080/file/041908-113.jpg] наз. пополнением Е. Если Е - банахова С. а., причем Еимеет аппроксимативную единицу, то всякий положительный функционал / на Енепрерывен и допускает продолжение до положительного линейного функционала на [img: http://localhost:8080/file/041908-114.jpg]. Если Есодержит единичный элемент 1 и ||1||=1, то для любого положительного линейного функционала / на Евыполняются соотношения ||/|| = /(1) и [img: http://localhost:8080/file/041908-115.jpg], где (х*х).- спектральный радиус элемента х*г (см. Банахова алгебра).> Эрмитов элемент вполне С. а. имеет действительный спектр, для любого максимального замкнутого левого идеала / во вполне С. а. Ес единичным элементом существует такой положительный линейный функционал /наE,что [img: http://localhost:8080/file/041908-116.jpg], и элемент [img: http://localhost:8080/file/041908-117.jpg] обратим слева в Етогда и только тогда, когда f(x*x)>b для всех ненулевых положительных функционалов / на Е. Радикал вполне С. а. Есовпадает с множеством таких элементов [img: http://localhost:8080/file/041908-118.jpg], что /(х*х)-0 для всех положительных линейных функционалов / на Е. Банахова С. а. Е с единичным элементом 1 тогда и толвко тогда вполне симметрична, когда r(x*x)=sup f(x*x), где верхняя грань берется по множеству таких положительных линейных функционалов f на Е, что f(1)=1.