Симметрия

- 1) С.- инволютивное ортогональное преобразование, изменяющее ориентацию; инволютивность преобразования означает, что двукратное применение его дает тождественное преобразование. Напр., отражение относительно плоскости a в пространстве (относительно прямой ана плоскости) есть С., при к-рой каждая точка Мпереходит в точку М' такую, что отрезок ММ' перпендикулярен плоскости a (прямой а) и делится ею пополам. Плоскость a (прямая а).наз. плоскостью (осью) С. (рис. 1). Любое ортогональное преобразование можно осуществить последовательным выполнением конечного числа отражений. [img: http://localhost:8080/file/041908-122.jpg] 2) С. - свойство геометрич. фигуры Ф совмещаться с собой при действии нек-рой группы Gортогональных преобразований, наз. группой симметрии Ф; таким образом, С. отражает нек-рую правильность формы фигуры, инвариантность ее при действии преобразований из G. Напр., если на плоскости фигура Ф такова, что повороты относительно какой-либо точки О на угол 360o/n, n. - целое, переводят ее в себя, то Ф обладает С. n-го порядка, а Оназ. центром С. n-го порядка (рис. 2); здесь G - циклическая группа ге-го порядка. Окружность обладает С. бесконечного порядка (поскольку совмещается с собой поворотом на любой угол). [img: http://localhost:8080/file/041908-123.jpg] Простейшими видами пространственной С., помимо С., порожденной отражениями, являются: а) С. относительно прямой n-го порядка; и этом случае фигура накладывается на себя вращением вокруг нек-рой прямой (оси С.) на угол 360o/n. Напр., плоская фигура, симметричная относительно прямой АВ, имеет в пространстве эту прямую осью С. 2-го порядка (рис. 3). Куб имеет прямую А В осью С. 3-го порядка, а прямую CD- осью С. 4-го порядка (рис. 4); вообще, правильные и полуправильные многогранники симметричны относительно ряда прямых. Расположение, количество и порядок осей С. играют основную роль в кристаллографии. б) С. переноса; в этом случае фигура накладывается на себя переносом вдоль нек-рой прямой (о с и переноса) на какой-либо отрезок. [img: http://localhost:8080/file/041908-124.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041908-125.jpg] Напр., фигура с единственной осью переноса обладает бесконечным множеством плоскостей С. (поскольку любой перенос можно осуществить двумя последовательными отражениями), перпендикулярных оси переноса (рис. 5). [img: http://localhost:8080/file/041909-1.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041909-2.jpg] Фигуры, имеющие несколько осей переноса, играют важную роль при исследовании кри-сталлич. решеток. Комбинации С., порожденные отражениями и вращениями (исчерпывающие простейшие виды С. конечных фигур), а также переносами, представляют интерес и являются предметом исследования в различных областях естествознания, искусства и т. д. [img: http://localhost:8080/file/041909-3.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041909-4.jpg] Напр., винтовая С., осуществляемая поворотом на нек-рый угол вокруг оси, дополненным переносом вдоль той же оси, наблюдается в расположении листьев у растений (рис. 6). С. широко распространена как один из приемов построения бордюров и орнаментов (плоских фигур, обладающих одной или несколькими С. переноса в сочетании с отражениями) (рис. 7, 8).