Симплициальный объект

категории [img: http://localhost:8080/file/041910-154.jpg] - произвольный контравариантный функтор X: [img: http://localhost:8080/file/041910-155.jpg] (или, что то же самое, ковариантный функтор [img: http://localhost:8080/file/041910-156.jpg]) из категории D, объектами к-рой являются упорядоченные множества [n]={0, 1,..., п}, [img: http://localhost:8080/file/041910-157.jpg], а морфизмами - неубывающие отображения m: [img: http://localhost:8080/file/041910-158.jpg]. Ковариантный функтор [img: http://localhost:8080/file/041910-159.jpg] (или, что то же самое, контравариантный функтор [img: http://localhost:8080/file/041910-160.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041910-161.jpg]). наз. косимплициальным объек-т о м категории [img: http://localhost:8080/file/041910-162.jpg]. Морфизмы [img: http://localhost:8080/file/041910-163.jpg] категории D, определенные формулами [img: http://localhost:8080/file/041910-164.jpg] порождают любой морфизм категории D, так что С. о. Xполностью определен, если для любого [img: http://localhost:8080/file/041910-165.jpg] задан объект Х([п])=Х п (наз. n-м слоем, или n-й компонентой, С. о. X).и морфизмы [img: http://localhost:8080/file/041910-166.jpg] (наз. соответственно операторами граней и операторами вырождения). В случае, когда [img: http://localhost:8080/file/041910-167.jpg] является категорией структуризованных множеств, точки множества Х п наз. обычно n-мерными симплексами С. о. X. Отображения di и si удовлетворяют соотношениям [img: http://localhost:8080/file/041910-168.jpg] причем любое соотношение между этими отображениями является следствием соотношений (*). Это означает, что С. о. Xможно отождествить с системой {Х п, di, si}, состоящей из объектов Х n, [img: http://localhost:8080/file/041910-169.jpg], категории [img: http://localhost:8080/file/041910-170.jpg] и морфизмов [img: http://localhost:8080/file/041910-171.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041910-172.jpg] удовлетворяющих соотношениям [img: http://localhost:8080/file/041910-173.jpg] Аналогично, косимплициальный объект Xможно рассматривать как систему {Х п, di, si}, состоящую из объектов [img: http://localhost:8080/file/041910-174.jpg] (п - х кослоев), и морфизмов di: [img: http://localhost:8080/file/041910-175.jpg] (операторов кограней), и [img: http://localhost:8080/file/041910-176.jpg] (операторов ковырождения), удовлетворяющих соотношениям (*) (в к-рых положено di=di, si=si). Симплициальным отображением f: [img: http://localhost:8080/file/041910-177.jpg] С. о. Xв С. о. Y(одной и той же категории [img: http://localhost:8080/file/041910-178.jpg]) наз. произвольное преобразование (морфизм) функтора [img: http://localhost:8080/file/041910-179.jpg] в функтор [img: http://localhost:8080/file/041910-180.jpg], т. е. такая система морфизмов [img: http://localhost:8080/file/041910-181.jpg], критерии [img: http://localhost:8080/file/041910-182.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/041910-183.jpg], Симплициальные объекты категории [img: http://localhost:8080/file/041910-184.jpg] и их симплициальные отображения образуют категорию [img: http://localhost:8080/file/041910-185.jpg]. Симплициальной гомотопией [img: http://localhost:8080/file/041910-186.jpg], связывающей симплициальные отображения [img: http://localhost:8080/file/041910-187.jpg] симплициальных объектов категории С, наз. такое семейство морфизов [img: http://localhost:8080/file/041910-188.jpg], категории [img: http://localhost:8080/file/041910-189.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/041910-190.jpg] На основе этого определения в категории [img: http://localhost:8080/file/041910-191.jpg] над произвольной категорией [img: http://localhost:8080/file/041910-192.jpg] можно воспроизвести по существу всю обычную теорию гомотопий. В случае категории множеств или топологич. пространств функтор геометрич. реализации (см. Симплициальное множества).переводит эту "симплициальную" теорию в обычную. Примеры С. о.: симплициальное множество, симплициальное топологич. пространство, симплициальное алгебраич. многообразие, симплициальная группа, симплициальная абелева группа, симплициальная алгебра Ли, симплициальное гладкое многообразие и т. д. Каждая симплициальная абелева группа является цепным комплексом с граничным оператором d= S (-l)idi.