Сингулярное распределение

распределение вероятностей в [img: http://localhost:8080/file/041911-70.jpg], сосредоточенное на множестве нулевой меры Лебега и приписывающее каждому одноточечному множеству нулевую вероятность. На прямой [img: http://localhost:8080/file/041911-71.jpg] определение С. р. эквивалентно следующему: распределение сингулярно, если соответствующая функция распределения непрерывна, а ее множество точек роста имеет нулевую меру Лебега. Примером С. р. на прямой может служить распределение, сосредоточенное на канторовом множестве, т. н. канторово распределение, к-рое можно описать следующим образом. Пусть Х 1, X2,...- последовательность независимых случайных величин, каждая из к-рых принимает значения 0 и 1 с вероятностями 1/2. Тогда случайная величина [img: http://localhost:8080/file/041911-72.jpg] имеет канторово распределение, и его характеристич. функция равна [img: http://localhost:8080/file/041911-73.jpg] Пример С. р. в [img: http://localhost:8080/file/041911-74.jpg] - равномерное распределение на сфере положительного радиуса. Свертка двух С. р. может быть либо сингулярной, либо абсолютно непрерывной, либо представлять собой смесь сингулярного и абсолютно непрерывного распределений. Любое вероятностное распределение Рможет быть единственным образом представлено в виде [img: http://localhost:8080/file/041911-75.jpg] где Р d - дискретное, Р а- абсолютно непрерывное, a Ps - С. р., [img: http://localhost:8080/file/041911-76.jpg] (разложение Лебега). Иногда сингулярность понимается в более широком смысле: вероятностное распределение Fявляется С. р. по отношению к мере Р, если оно сосредоточено на множестве Nтаком, что P{N}=0. При таком определении каждое дискретное распределение является С. р. по отношению к мере Лебега. По поводу сингулярных функций множеств см. также Абсолютная непрерывность функции множества.