Скрещенное произведение

группы Си кольца K - ассоциативное кольцо, определяемое следующей конструкцией. Пусть заданы однозначное отображение s группы Gв группу автоморфизмов ассоциативного кольца Кс единицей и семейство [img: http://localhost:8080/file/041914-36.jpg] обратимых элементов кольца К, удовлетворяющее условиям [img: http://localhost:8080/file/041914-37.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/041914-38.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041914-39.jpg]. Семейство р наз. системой факторов. Элементами С. п. группы Gи кольца Кпри системе факторов р и отображении s будут всевозможные формальные конечные суммы вида [img: http://localhost:8080/file/041914-40.jpg] (tg- символ, однозначно сопоставляемый каждому элементу [img: http://localhost:8080/file/041914-41.jpg]), а операции определяются формулами [img: http://localhost:8080/file/041914-42.jpg] Ото кольцо обозначается К(G,r, s); элементы tg образуют K-базис С. п. К(G,r, s). Если s отображает G в единичный автоморфизм кольца К, то С. ц. K(G, r) наз. скрещенным групповым кольцом, а если, кроме того, rg,h=1 для всех [img: http://localhost:8080/file/041914-43.jpg], то К(G,r, s) - групповое кольцо группы Gнад кольцом К(см. Групповая алгебра). Пусть А - поле и s - мономорфизм. Тогда С. п. K(G,r, s) - простое кольцо, являющееся С. п. поля с его группой Галуа.