Сложная функция

- функция, представленная как композиция нескольких функций. Если множество значений Yi функции fi содержится во множестве определения Х i+1 функции fi+1, т. е. [img: http://localhost:8080/file/041915-18.jpg] то функция [img: http://localhost:8080/file/041915-19.jpg] определяемая равенством [img: http://localhost:8080/file/041915-20.jpg] наз. сложной функцией или (п-1)-кратной композицией (суперпозицией) функций f1, f2,..., fn. Напр., всякая рациональная функция любого числа переменных является композицией четырех арифметич. действий, т. е. композицией функций х+у, x-у, ху, х/у. С. ф. сохраняет многие свойства функций, композицией к-рых она является. Так, композиция непрерывных функций непрерывна. Это означает, что если функция [img: http://localhost:8080/file/041915-21.jpg] непрерывна в точке [img: http://localhost:8080/file/041915-22.jpg], а функция f2: Y [img: http://localhost:8080/file/041915-23.jpg] Z непрерывна в точке [img: http://localhost:8080/file/041915-24.jpg], то С. ф. f2 о/f1 также непрерывна в точке х 0 (здесь X, Y и Zявляются, напр., топологии, пространствами). Подобным образом, композиция праз (непрерывно) дифференцируемых функций представляет собой также праз (непрерывно) дифференцируемую функцию, n=1, 2,... Композиция возрастающих (убывающих) функций есть возрастающая (соответственно убывающая) функция. При композиции функций иногда меняются количественные характеристики свойств функций: композиция функций f1 и f2, удовлетворяющих условию Гёльдера нек-рых степеней, есть функция, удовлетворяющая условию Гёльдера степени, равной произведению степеней условий Гёльдера, к-рым удовлетворяют функции f1 и f2. Нек-рые характеристики функций не сохраняются при композиции. Так, композиция функций, интегрируемых по Риману или по Лебегу, не является, вообще говоря, функцией, интегрируемой по Риману или, соответственно, по Лебегу; композиция абсолютно непрерывных функций может оказаться не абсолютно непрерывной функцией. Вместе с тем, согласно результатам Н. К. Бари и Д. Е. Меньшова [1], композиция трех абсолютно непрерывных на отрезке функций не приводит к новому классу функций по сравнению с композицией двух абсолютно непрерывных функций. Н. К. Бари [2] доказала, что любая непрерывная на отрезке функция может быть представлена в виде суммы трех композиций абсолютно непрерывных функций, и есть такие непрерывные функции, к-рые но могут быть представлены в виде суммы двух таких композиций. Вместе с тем, всякая непрерывная на отрезке функция является суммой двух композиций функций с ограниченным изменением; однако n-кратные композиции функций с ограниченным изменением для каждого п=1, 2,... приводят к существенно новым классам функций и существуют однократные композиции функций с ограниченным изменением, не являющиеся непрерывными функциями [3]. Понятие композиции функций представляет собой наиболее широкое понимание термина "представление функции формулой". Задача о представлении функций в виде композиций возникла в связи с отысканием формул для решений алгебраич. уравнений. Всякий корень уравнения степени не выше четвертой может быть представлен формулой, выражающей его через коэффициенты уравнения и представляющей собой композицию четырех арифметич. действий и радикалов. Всякое уравнение степени [img: http://localhost:8080/file/041915-25.jpg] может быть с помощью подстановки (наз. преобразованием Чирнгаузена) приведено к виду [img: http://localhost:8080/file/041915-26.jpg] Таким образом, каждый корень уравнения степени [img: http://localhost:8080/file/041915-27.jpg] представляет собой функцию п-4 параметров. Задача состоит в выяснении: можно ли эти функции представить в виде композиции алгебраич. функций меньшего числа неременных. Одна из 23 проблем Д. Гильберта (D. Hilbert), поставленных им на Международном конгрессе математиков в Париже в 1900, относилась к этой задаче. Именно, 13-я проблема состояла в следующем (см. [4]): представляется ли корень f уравнения [img: http://localhost:8080/file/041915-28.jpg] (*) через коэффициенты х, у и z этого уравнения посредством композиций каких-либо непрерывных функций двух переменных (следует отметить, что всякая функция конечного числа переменных является композицией разрывных функций двух переменных). Д. Гильбертом была показана невозможность получения всех аналитич. ций трех переменных в виде композиций аналитич. ций двух переменных. Он же для уравнения 9-й степени доказал [5], что решение уравнения 9-й степени можно представить в виде композиции алгебраич. функций четырех переменных (вместо пяти, как это сразу следует из применения преобразования Чирнгаузена). Эти исследования были продолжены многими математиками (см. [6] - [19]). А. Г. Витушкин в 1954 доказал [10], что если натуральные числа m, п, m1 и n1 удовлетворяют неравенству [img: http://localhost:8080/file/041915-29.jpg], то можно указать праз дифференцируемую функцию тпеременных, непредставимую в виде композиции n1 раз дифференцируемых функций от m1 переменных. В частности, при всяком пможно указать функцию ппеременных наперед заданной гладкости, непредставимую композицией функций меньшего числа переменных той же гладкости. В этом смысле среди гладких функций любого числа переменных существуют функции, существенно зависящие от всех своих аргументов. В 1956 А. Н. Колмогоров показал [11], что всякая определенная на n-мерном ([img: http://localhost:8080/file/041915-30.jpg]) кубе непрерывная функция является композицией непрерывных функций трех переменных. Затем В. И. Арнольд уменьшил число переменных с трех до двух. Именно, он доказал [12], что любую непрерывную на кубе функцию трех переменных можно представить в виде композиции непрерывных функций двух переменных (и даже, более точно, в виде суммы 9 функций, каждая из к-рых является однократной композицией непрерывных функций двух переменных). Тем самым было показано, что каждая непрерывная на n-мерном ([img: http://localhost:8080/file/041915-31.jpg]) кубе функция представит в виде композиции непрерывных функций двух переменных. Это явилось последним словом по опровержению гипотезы Гильберта о невозможности представления корней уравнения (*) в виде композиций непрерывных функций двух неременных. Работы А. Н. Колмогорова и В. И. Арнольда дали, в частности, положительный ответ на вопрос о представимости корней алгебраич. уравнений любой степени в виде композиции непрерывных функций не более чем двух переменных. Для композиций аналитич. и алгебраич. функций аналогичный вопрос не решен. До сих пор (1983) неизвестно, являются ли корни уравнения (*) композицией аналитич. ций или нет. Этот цикл работ завершает следующая теорема Колмогорова [13]: любая непрерывная функция гс переменных может быть получена с помощью композиций непрерывных функций одного переменного и единственной функции двух неременных g(x, y) = x+y;именно, он доказал, что любая функция f, непрерывная на n-мерном кубе, может быть представлена в виде [img: http://localhost:8080/file/041915-32.jpg], где функции hi и jij- непрерывны, а функции jij, кроме того, стандартны, т. е. не зависят от выбора функции f. А. Г. Витушкин показал [14], что для любых конечных наборов непрерывных функций pk и непрерывно дифференцируемых функций qk, зависящих от ппеременных, k=1, 2,..., т, n=1, 2,..., существуют даже аналитич. ции гс переменных, не представимые композицией вида [img: http://localhost:8080/file/041915-33.jpg] где fk - произвольные непрерывные функции одного переменного.