Смешанного типа уравнение

дифференцированное уравнение с частными производными, к-рое в области задания принадлежит различным типам (эллиптическому, гиперболическому или параболическому). Линейное (или квазилинейное) дифференциальное уравнение 2-го порядка с двумя неизвестными переменными [img: http://localhost:8080/file/051934-119.jpg] и с непрерывными коэффициентами в области задания [img: http://localhost:8080/file/051934-120.jpg] является С. т. у., если в этой области дискриминант [img: http://localhost:8080/file/051934-121.jpg] характеристич. формы [img: http://localhost:8080/file/051934-122.jpg] обращается в нуль, не будучи там тождественно равным нулю. Кривая [img: http://localhost:8080/file/051934-123.jpg] определяемая уравнением [img: http://localhost:8080/file/051934-124.jpg] наз. параболической линией уравнения (1), или линией вырождения (изменения) типа уравнения. Если дискриминант [img: http://localhost:8080/file/051934-125.jpg] в области [img: http://localhost:8080/file/051934-126.jpg] не меняет знака при переходе точки (х, у)через параболич. линию [img: http://localhost:8080/file/051934-127.jpg] то уравнение (1) относится к вырожденным уравнениям эллиптико-параболического [img: http://localhost:8080/file/051934-128.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051934-129.jpg] или гиперболо-параболического [img: http://localhost:8080/file/051934-130.jpg] типа (см. Вырожденное уравнение с частными производными). При нек-рых условиях гладкости коэффициентов А, В, С и параболич. линии [img: http://localhost:8080/file/051934-131.jpg] существуют неособое действительное преобразование независимых переменных, приводящее уравнение (1) со знакопеременным дискрилншантом [img: http://localhost:8080/file/051934-132.jpg] (в окрестности выбранной точки линии [img: http://localhost:8080/file/051934-133.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051934-134.jpg] к одному из следующих канонич. видов (обозначения для независимых переменных сохранены): [img: http://localhost:8080/file/051934-135.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051934-136.jpg] Уравнения (2) и (3) являются С. т. у. (эллиптико-параболич. типа) в любой области, содержащей внутри себя интервал линии вырождения y = 0. Область [img: http://localhost:8080/file/051934-137.jpg] задания С. т. у. принято называть смешанной областью, а краевые задачи в смешанных областях - смешанными краевыми задачами. Часть [img: http://localhost:8080/file/051934-138.jpg] смешанной области [img: http://localhost:8080/file/051934-139.jpg] где уравнение принадлежит эллиптическому (гиперболическому) типу, наз. областью эллиптичности (гиперболичности). К отысканию определенных решений С. т. у. сводятся многие проблемы прикладного характера, в частности проблемы околозвукового течения сжимаемой среды и безмоментной теории оболочек. С. т. у. (1) наз. уравнением первого рода (второго рода), если всюду вдоль параболич. линии характеристич. форма [img: http://localhost:8080/file/051934-140.jpg] Уравнение Чаплыгина [img: http://localhost:8080/file/051934-141.jpg] где k(у) - непрерывно дифференцируемая монотонная функция такая, что yk(y)>0 при [img: http://localhost:8080/file/051934-142.jpg] -типичный пример С. т. у. 1-го рода. При k(y) = y уравнение (4) принято называть Трикоми уравнением. Важной моделью С. т. у. (с разрывными коэффициентами при старших производных) является уравнение Лаврентьева - Бицадзе [img: http://localhost:8080/file/051934-143.jpg] Одной из основных краевых задач для С. т. у. (первого рода) является задача Трикоми, к-рая для уравнения вида (2) ставится следующим образом. Пусть [img: http://localhost:8080/file/051934-144.jpg] - конечная односвязная область евклидовой плоскости независимых переменных хи у, ограниченная простой жордановой кривой о с концами в точках А(0,0), В(1,0), лежащей в полуплоскости у>0, и частями АС и ВС характеристик уравнения (2), выходящими из точки С(1/2, у C), yC<0. Задача Трикоми заключается в отыскании решения и(х, у)уравнения (2), непрерывного в замыкании [img: http://localhost:8080/file/051934-145.jpg] области [img: http://localhost:8080/file/051934-146.jpg] и принимающего наперед заданные значения на кривой [img: http://localhost:8080/file/051934-147.jpg] В теории задачи Трикоми существенную роль играет принцип экстремума Бицадзе, к-рый в случае уравнения (5) гласит: решение и(х, у)уравнения (5) из класса [img: http://localhost:8080/file/051934-148.jpg] обращающееся в нуль на характеристике АС: х+у=0, [img: http://localhost:8080/file/051934-149.jpg] в замыкании [img: http://localhost:8080/file/051934-150.jpg] области эллиптичности [img: http://localhost:8080/file/051934-151.jpg] своего экстремума достигает на кривой [img: http://localhost:8080/file/051934-152.jpg] Этот принцип, из к-рого следует единственность и устойчивость решения задачи Трикоми, а также обоснование альтернирующего метода его отыскания, распространен на весьма широкий класс линейных и квазилинейных С. т. у. В частности, этому классу принадлежат уравнения Чаплыгина (и Трикоми), если k(у)дважды непрерывно дифференцируема и [img: http://localhost:8080/file/051934-153.jpg] при у<0. Принцип экстремума Бицадзе остается в силе и для уравнения [img: http://localhost:8080/file/051934-154.jpg] Решение задачи Трикоми для уравнения (6) в соответствующей смешанной области [img: http://localhost:8080/file/051934-155.jpg] выписывается в явном виде, если эллиптич. часть а границы этой области совпадает с т. н. нормальным контуром [img: http://localhost:8080/file/051934-156.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051934-157.jpg] В общем случае при определенных условиях на кривую [img: http://localhost:8080/file/051934-158.jpg] и на класс искомых решений задача Трикоми для уравнения (6) эквивалентно редуцируется к сингулярному интегральному уравнению, безусловная разрешимость к-рого следует из единственности решения. Метод интегральных уравнений успешно применяется и при доказательстве существования решения задачи Трикоми и др. смешанных задач для более общих уравнений вида [img: http://localhost:8080/file/051934-159.jpg] со степенным вырождением порядка [img: http://localhost:8080/file/051934-160.jpg] Методы теории функций и функционального анализа, особенно метод априорных оценок, позволили значительно расширить класс С. т. у. и смешанных областей, для к-рых имеет место единственность и существование (обобщенного) решения как задачи Трикоми, так и ряда др. смешанных задач. Существенным обобщением задачи Трикоми является общая смешанная задача Бицадзе, к-рая в случае уравнения (5) ставится следующим образом. Пусть [img: http://localhost:8080/file/051934-161.jpg] - односвязная смешанная область, ограниченная лежащей в полуплоскости у>0 простой жордановой кривой [img: http://localhost:8080/file/051934-162.jpg] с концами в точках А(0,0), В(1, 0) и выходящими из этих точек (гладкими) монотонными кривыми Г 0 и Г 1, к-рые пересекаются в точке С(x1, y1), y1<0. Предполагается, что кривые Г 0 и Г 1 принадлежат области, ограниченной характеристиками х+у =0, х-у =1и отрезком [img: http://localhost:8080/file/051934-163.jpg] прямой у=0. Через В 0 и В 1 обозначены точки пересечения характеристик х-у=х 0 и х+у=х0 с кривыми Г 0 и Г 1, где х 0 - любая фиксированная точка из полуинтервала [img: http://localhost:8080/file/051934-164.jpg] а через [img: http://localhost:8080/file/051934-165.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051934-166.jpg] - части кривых Г 0 и Г 1, лежащих между точками А, В 0 и В, В1 соответственно. Общая смешанная задача Бицадзе заключается в отыскании регулярного (при [img: http://localhost:8080/file/051934-167.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051934-168.jpg] решения уравнения (5) в области [img: http://localhost:8080/file/051934-169.jpg] к-рое непрерывно в [img: http://localhost:8080/file/051934-170.jpg] имеет непрерывные первые производные в [img: http://localhost:8080/file/051934-171.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/051934-172.jpg] и удовлетворяет заданным краевым условиям на кривых [img: http://localhost:8080/file/051934-173.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051934-174.jpg] Единственность и существование решения этой задачи как для уравнения (5), так и для более общих уравнений доказаны при нек-рых условиях геометрия, характера на границу области [img: http://localhost:8080/file/051934-175.jpg] особенно на кривую [img: http://localhost:8080/file/051934-176.jpg] Общую смешанную задачу Бицадзе можно считать полностью исследованной в частном случае, когда кривая Г 1 совпадает (х 0=1) свыходящей из точки Вхарактеристикой ВС. Важным следствием корректности общей смешанной задачи Бицадзе, напр. для уравнения(5), является тот факт, что для смешанных областей вида [img: http://localhost:8080/file/051934-177.jpg] Дирихле задача некорректна независимо от величины и формы области гиперболичности [img: http://localhost:8080/file/051934-178.jpg] Для довольно широкого класса линейных уравнений [img: http://localhost:8080/file/051934-179.jpg] установлено, что на корректность задачи Дирихле в соответствующих смешанных областях вида [img: http://localhost:8080/file/051934-180.jpg] существенное влияние может оказать коэффициент а (х, у). Смешанной задачей нового типа является задача Франкля. Пусть односвязная область [img: http://localhost:8080/file/051934-181.jpg] ограничена: отрезком А'А, [img: http://localhost:8080/file/051934-182.jpg] прямой х=0; гладкой кривой [img: http://localhost:8080/file/051934-183.jpg] с концами в точках А(0, 1) и В(а,0), расположенной в квадранте х>0, y>0; отрезком [img: http://localhost:8080/file/051934-184.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051934-185.jpg] прямой у=0 и проходящей через точки А'(0,- 1), С(а 1,0) характеристикой рассматриваемого С. [img: http://localhost:8080/file/051934-188.jpg] Эта задача исследована в основном для модельных С. т. у. Задача Франкля весьма полно решена для уравнения (5), если кривая [img: http://localhost:8080/file/051934-189.jpg] такова, что [img: http://localhost:8080/file/051934-190.jpg] где s - длина [img: http://localhost:8080/file/051934-191.jpg] отсчитываемая от точки В(а,0). Сформулированные основные краевые задачи для С. т. у. 1-го рода с соответствующими изменениями перенесены на С. т. у. 2-го рода. Эти изменения вызваны тем, что задача Дирихле для эллиптич. уравнений с характеристич. вырождением на части границы не всегда является корректно поставленной. В постановке краевых задач для уравнения (1) в смешанных областях вносится новый аспект, если линия [img: http://localhost:8080/file/051934-192.jpg] изменения типа одновременно представляет собой линию вырождения порядка уравнения, напр. в случае уравнения [img: http://localhost:8080/file/051934-193.jpg] где р - натуральное число, а [img: http://localhost:8080/file/051934-194.jpg] - постоянная, удовлетворяющая неравенству [img: http://localhost:8080/file/051934-195.jpg] Для уравнений (5), (6), (7), помимо указанных задач, исследован также ряд принципиально новых краевых задач, к-рые в основном характеризуются тем, что вся граница [img: http://localhost:8080/file/051934-196.jpg] области [img: http://localhost:8080/file/051934-197.jpg] (где ставится задача Трикоми) является носителем краевых условий: на кривой [img: http://localhost:8080/file/051934-198.jpg] задано, напр., условие Дирихле, а на [img: http://localhost:8080/file/051934-199.jpg] - нек-рое нелокальное условие, поточечно связывающее значения искомого решения или его (дробной) производной определенного порядка. В частности, эти задачи включают простой пример корректной самосопряженной смешанной краевой задачи. Изучаются краевые задачи для С. т. у. и систем в областях, содержащих внутри себя части нескольких линий вырождения типа или одну замкнутую параболич. линию. Аналоги задачи Трикоми рассматривались и для яек-рого класса С. т. у. и систем с двумя независимыми переменными и уравнений высокого порядка. Значительные затруднения возникают при отыскании правильно поставленных задач для С. т. у. с многими независимыми переменными. Тем не менее в этом направлении получен ряд важных результатов. Установлено, что для уравнения [img: http://localhost:8080/file/051934-200.jpg] к-рое представляет собой простую модель С. т. у. с временным образом ориентированной плоскостью z=0 вырождения типа, корректно поставленной является следующая задача. Пусть [img: http://localhost:8080/file/051934-201.jpg] - конечная односвязная трехмерная область, ограниченная нек-рой кусочно гладкой поверхностью z=f(x, [img: http://localhost:8080/file/051934-202.jpg] и характеристиками [img: http://localhost:8080/file/051934-203.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051934-204.jpg] уравнения (8). Требуется найти непрерывную в [img: http://localhost:8080/file/051934-205.jpg] функцию и(х, y, z) с непрерывными и [img: http://localhost:8080/file/051934-206.jpg] производными 1-го порядка, удовлетворяющую уравнению (8) в области [img: http://localhost:8080/file/051934-207.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/051934-208.jpg] и обращающуюся в нуль на [img: http://localhost:8080/file/051934-209.jpg] и на одной из характеристик S1 или S2. Доказаны существование слабого и единственность сильного решения этой задачи и для более общего уравнения [img: http://localhost:8080/file/051934-210.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051934-211.jpg] - оператор Лапласа по переменным х 1,..., хn. Для уравнения [img: http://localhost:8080/file/051934-212.jpg] с пространственно ориентированной гиперплоскостью x0=0вырождения типа и порядка в смешанной области [img: http://localhost:8080/file/051934-213.jpg] специального вида поставлены и исследованы краевые задачи, в к-рых часть границы [img: http://localhost:8080/file/051934-214.jpg] лежащая в полупространстве x0<0, является носителем данных и(х 0, х), а лежащая в полупространстве х 0>0часть границы [img: http://localhost:8080/file/051934-215.jpg] (характеристич. коноид уравнения (9)) - носителем нек-рых интегральных средних для и(х 0, х). Исследовались и другие модельные С. т. у. в трехмерных ограниченных и неограниченных областях, в т. ч. уравнения [img: http://localhost:8080/file/051934-216.jpg] Найден также критерий единственности решения задачи Дирихле для широкого класса самосопряженных С. т. у. в цилиндрич. областях.