Соболева обобщенная производная

- локально суммируемая обобщенная производная от локально суммируемой функции (см. Обобщенная функция). Подробнее, если [img: http://localhost:8080/file/051935-93.jpg] есть открытое множество в п- мерном пространстве [img: http://localhost:8080/file/051935-94.jpg] и F(x)и f(x) - заданные на [img: http://localhost:8080/file/051935-95.jpg] локально суммируемые функции, то f(x)есть обобщенная частная производная по х j поСоболеву от функции F(x) на [img: http://localhost:8080/file/051935-96.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051935-97.jpg] если выполняется равенство [img: http://localhost:8080/file/051935-98.jpg] для любых бесконечно дифференцируемых финитных в [img: http://localhost:8080/file/051935-99.jpg] функций [img: http://localhost:8080/file/051935-100.jpg] эта производная - С. о. п.- определена только почти всюду на [img: http://localhost:8080/file/051935-101.jpg] Другое эквивалентное определение С. о. п.: пусть локально суммируемую на [img: http://localhost:8080/file/051935-102.jpg] функцию F(x)можно видоизменить на множестве n-мерной меры нуль так, что она будет локально абсолютно непрерывной по х j для почти всех в смысле (п-1)-мерной меры точек (х 1,...,xj-l. xj+l,..., х n). Тогда функция F будет иметь обычную частную производную xj почти для всех [img: http://localhost:8080/file/051935-103.jpg] Если она локально суммируема, то она и наз. С. о. п. Третье эквивалентное определение С. о. п.: пусть для определенных на [img: http://localhost:8080/file/051935-104.jpg] функций F(х)и f(х)можно подобрать последовательность непрерывно дифференцируемых на [img: http://localhost:8080/file/051935-105.jpg] функций {Fk(x)}таких, что для любой области [img: http://localhost:8080/file/051935-106.jpg] замыкание к-рой принадлежит [img: http://localhost:8080/file/051935-107.jpg] имеет место [img: http://localhost:8080/file/051935-108.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051935-109.jpg] тогда f(x) есть С. о. п. от F(х) на [img: http://localhost:8080/file/051935-110.jpg] По индукции определяются С. о. п. на [img: http://localhost:8080/file/051935-111.jpg] от F(если они существуют) более высокого порядка: [img: http://localhost:8080/file/051935-112.jpg] Они не зависят от порядка дифференцирования, напр. [img: http://localhost:8080/file/051935-113.jpg] почти всюду на [img: http://localhost:8080/file/051935-114.jpg]