Соболева пространство

пространство [img: http://localhost:8080/file/051935-115.jpg] функций f=f(x)=f(x1,...,xn), определенных на множестве [img: http://localhost:8080/file/051935-116.jpg] (обычно открытом) и интегрируемых с р- йстепенью их модуля вместе со своими обобщенными производными до порядка lвключительно [img: http://localhost:8080/file/051935-117.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051935-118.jpg] Норма функции [img: http://localhost:8080/file/051935-119.jpg] определяется при помощи равенства [img: http://localhost:8080/file/051935-120.jpg] Здесь [img: http://localhost:8080/file/051935-121.jpg] есть обобщенная частная производная от f порядка |k| = [img: http://localhost:8080/file/051935-122.jpg] и норма [img: http://localhost:8080/file/051935-123.jpg] При [img: http://localhost:8080/file/051935-124.jpg] эта норма равна существенному максимуму: [img: http://localhost:8080/file/051935-125.jpg] т. [img: http://localhost:8080/file/051936-12.jpg] Норма (1') эквивалентна норме (1) (т. е. [img: http://localhost:8080/file/051936-13.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051936-14.jpg] где c1, с 2>0 не зависят от f). При р=2 норма (1') гильбертова, и это широко используется в приложениях. Граница Г ограниченной области [img: http://localhost:8080/file/051936-15.jpg] наз. липшицевой, если, какова бы ни была точка [img: http://localhost:8080/file/051936-16.jpg] найдется прямоугольная система координат [img: http://localhost:8080/file/051936-17.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051936-18.jpg] с началом в этой точке и прямоугольник [img: http://localhost:8080/file/051936-19.jpg] такой, что пересечение [img: http://localhost:8080/file/051936-21.jpg] описывается функцией [img: http://localhost:8080/file/051936-20.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051936-22.jpg] удовлетворяющей на [img: http://localhost:8080/file/051936-23.jpg] (проекции [img: http://localhost:8080/file/051936-24.jpg] на плоскость [img: http://localhost:8080/file/051936-25.jpg] условию Липшица [img: http://localhost:8080/file/051936-26.jpg] где константа Мне зависит от указанных точек [img: http://localhost:8080/file/051936-27.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051936-28.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051936-29.jpg] Гладкие и многие кусочно гладкие границы охватываются понятием липшицевой границы. Для области с липшицевой границей норма (1) эквивалентна следующей: [img: http://localhost:8080/file/051936-30.jpg] где полунорма [img: http://localhost:8080/file/051936-31.jpg] Можно рассматривать более общие анизотропные пространства (классы) [img: http://localhost:8080/file/051936-32.jpg] где l=(l1,...,ln) - положительный вектор (см. Вложения теоремы). Для каждого такого вектора lэффективно и в известной мере исчерпывающе определяется класс областей [img: http://localhost:8080/file/051936-33.jpg] обладающих тем свойством, что если [img: http://localhost:8080/file/051936-34.jpg] то любую функцию [img: http://localhost:8080/file/051936-35.jpg] можно продолжить на [img: http://localhost:8080/file/051936-36.jpg] с сохранением класса. Точнее, можно определить на [img: http://localhost:8080/file/051936-37.jpg] функцию [img: http://localhost:8080/file/051936-39.jpg] со свойствами [img: http://localhost:8080/file/051936-38.jpg] где сне зависит от f (см. [3]). Благодаря этому свойству неравенства типа теорем вложения для функций [img: http://localhost:8080/file/051936-40.jpg] автоматически переносятся на функции [img: http://localhost:8080/file/051936-41.jpg] Для векторов вида l=(l1,..., ln)области [img: http://localhost:8080/file/051936-42.jpg] имеют липшицевы границы. Для них [img: http://localhost:8080/file/051936-43.jpg] Исследование пространств (классов) [img: http://localhost:8080/file/051936-44.jpg] ведется на основе специальных интегральных представлений функций, принадлежащих этим классам. Первое такое представление получено (см. [1], [2]) для изотропного пространства [img: http://localhost:8080/file/051936-45.jpg] области [img: http://localhost:8080/file/051936-46.jpg] звездной относительно нек-рого шара. Дальнейшее развитие этого метода см., напр., в [3]. Классы Wlp и Wlp получили обобщение на случай дробных чисел пли векторов l=(l1,..., ln)с дробными компонентами lj. Пространство [img: http://localhost:8080/file/051936-47.jpg] рассматривают и для отрицательных целых l. Элементами его являются, вообще говоря, обобщенные функции f, т. е. линейные функционалы [img: http://localhost:8080/file/051936-48.jpg] над финитными в [img: http://localhost:8080/file/051936-49.jpg] бесконечно дифференцируемыми функциями [img: http://localhost:8080/file/051936-50.jpg] По определению, обобщенная функция / принадлежит классу [img: http://localhost:8080/file/051936-51.jpg] при натуральном l = 1, 2, 3,..., вели конечна верхняя грань: [img: http://localhost:8080/file/051936-52.jpg] распространенная на указанные функции j с нормой в метрике [img: http://localhost:8080/file/051936-53.jpg] не превышающей единицу (1/p+1/q=1). Можно еще сказать, что функции [img: http://localhost:8080/file/051936-54.jpg] l=1, 2,..., образуют пространство, сопряженное к банахову пространству [img: http://localhost:8080/file/051936-55.jpg]