Собственные значения дифференциальных операторов;

численные методы нахождения - методы вычисления собственных значений и соответствующих собственных функций дифференциальных операторов. Колебания упругих ограниченных тел описываются уравнением [img: http://localhost:8080/file/051936-65.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051936-66.jpg] - нек-рое дифференциальное выражение. Если решение уравнения (1) искать в виде [img: http://localhost:8080/file/051936-67.jpg] то относительно функции иполучается уравнение [img: http://localhost:8080/file/051936-68.jpg] внутри ограниченной области при нек-рых однородных условиях на ее границе. Значения параметра [img: http://localhost:8080/file/051936-69.jpg] при к-рых существуют отличные от тождественного нуля решения уравнения (2), удовлетворяющие однородным краевым условиям, наз. собственными значениями (числами), а их соответствующие решения - собственными функциями. Возникающая при этом дифференциальная задача на собственные значения состоит в нахождении собственных значений [img: http://localhost:8080/file/051936-70.jpg] и соответствующих им собственных функций. Численное решение дифференциальной задачи на собственные значения проводится в три этапа: 1) сведение задачи к более простой, напр. к алгебраической (дискретной); 2) выяснение точности дискретной задачи; 3) вычисление собственных значений дискретной задачи (см. Линейная алгебра;численные методы). Сведение к дискретной задаче. Сведение задачи (2) к ее дискретной модели производится в основном сеток методом и проекционными методами. При этом естественно требовать, чтобы основные свойства исходной задачи сохранялись в ее дискретном аналоге. В частности, должна сохраняться самосопряженность соответствующих дискретных операторов в пространстве функций дискретного аргумента. Одним из методов такого сведения является интегро-интерполяционный метод. Напр., пусть поставлена задача [img: http://localhost:8080/file/051936-71.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051936-72.jpg] Эта задача возникает, напр., при изучении поперечных колебаний неоднородной струны и продольных колебаний неоднородного стержня. На отрезке [0, 1] вводится разностная сетка [img: http://localhost:8080/file/051936-73.jpg] с узлами xi=ih,i=0,l,..., N, h=1/N. Каждому узлу xi, i=l,..., N -1, ставится в соответствие элементарная область [img: http://localhost:8080/file/051936-74.jpg] Интегрирование по областям Si уравнения (3) приводит к выражению [img: http://localhost:8080/file/051936-75.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/051936-76.jpg] Тогда [img: http://localhost:8080/file/051936-77.jpg] При подстановке (6) в (5) получается уравнение [img: http://localhost:8080/file/051936-78.jpg] где v - искомая сеточная функция. Краевые условия v0=0, vN=0 приводят к алгебраич. задаче на собственные значения [img: http://localhost:8080/file/051936-79.jpg] где А - трехдиагональная симметрич. матрица порядка n = N -1 (см. [10]). Вариационно-разностный метод сведения к дискретной задаче используется, когда задача на собственные значения может быть сформулирована как вариационная. Напр., собственные значения задачи (3), (4) являются стационарными значениями функционала [img: http://localhost:8080/file/051936-80.jpg] При замене интегралов квадратурными суммами, а производных - разностными отношениями, дискретный аналог функционала имеет вид [img: http://localhost:8080/file/051936-81.jpg] где а i - разностный аналог коэффициента р(х), к-рый может быть вычислен по формуле (6). Дискретный аналог задачи (3), (4) получается из необходимого условия экстремума [img: http://localhost:8080/file/051936-82.jpg] Дифференцирование приводит снова к задаче (7) (см. [9]). Проекционно-разностный метод сведения к дискретной задаче состоит в следующем. Выбирается линейно независимая координатная система функций [img: http://localhost:8080/file/051936-83.jpg] и линейно независимая проекционная система функций [img: http://localhost:8080/file/051936-84.jpg] Приближенные собственные функции ищутся в виде [img: http://localhost:8080/file/051936-85.jpg] Коэффициенты разложения vi и приближенные собственные значения определяются из условия [img: http://localhost:8080/file/051936-86.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051936-87.jpg] - скалярное произведение в гильбертовом пространстве. [При совпадении координатной и проекционной систем говорят о методе Бубнова - Галеркина. Если, кроме того, оператор дифференциальной задачи самосопряженный, то метод наз. методом Рэлея - Ритца (см. [4]). ] В частности, для задачи (3), (4), если все [img: http://localhost:8080/file/051936-88.jpg] удовлетворяют (4), условие (8) принимает вид [img: http://localhost:8080/file/051936-89.jpg] Чтобы упростить получение алгебраич. задачи, систему функций [img: http://localhost:8080/file/051936-90.jpg] выбирают почти ортогональной. Взяв в качестве координатной и проекционной систем функции вида [img: http://localhost:8080/file/051936-91.jpg] xi= ih из (9) получают [img: http://localhost:8080/file/051936-93.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051936-92.jpg] Таким образом, вместо с краевыми условиями получается обобщенная задача на собственные значения: [img: http://localhost:8080/file/051936-94.jpg] Здесь Аи D - трехдиагональные симметрич. матрицы порядка n=N -1. Перечисленными методами получаются дискретные модели в случае и др. уравнений. Напр., для стержня: [img: http://localhost:8080/file/051936-95.jpg] для мембраны: [img: http://localhost:8080/file/051936-96.jpg] для пластины: [img: http://localhost:8080/file/051936-97.jpg] Собственные векторы, соответствующие [img: http://localhost:8080/file/051936-98.jpg] удовлетворяют однородной системе алгебраич. уравнении: [img: http://localhost:8080/file/051936-99.jpg] Задача нахождения всех собственных значений и собственных векторов матрицы Аназ. полной проблемой собственных значений. Задача нахождения нескольких собственных значений матрицы. наз. частичной проблемой собственных значений. В случае алгебраич. систем, соответствующих рассматриваемой задаче, наиболее часто возникает частичная проблема собственных значений. Применение традиционных методов ее решения требует весьма значительного объема вычислений ввиду плохой разделенности собственных значений матрицы А. В этом случае наиболее эффективны модифицированные градиентные методы с использованием спектрально эквивалентных операторов (см. [16]) и многосеточные методы (см; [17]).