Солвмногообразие

разрешимое многообразие,- однородное пространство Мсвязной разрешимой группы Ли G; его можно отождествить с пространством смежных классов G/H, где Н - стационарная подгруппа нек-рой точки многообразия М. IIримеры: [img: http://localhost:8080/file/051938-8.jpg] тор Т n, многообразие Ивасавы N/l (где N - группа всех верхних треугольных матриц с единицами на диагонали в [img: http://localhost:8080/file/051938-9.jpg] I - подгруппа всех целых точек в N), К 2 (бутылка Клейна), Mb (лист Мёбиуса). Первым среди С. был изучен более узкий класс нильмногообразий, т. е. однородных пространств нильпотентных групп Ли (таковы [img: http://localhost:8080/file/051938-10.jpg] а К 2 и Mb нильмногообразиями не являются). Для них А. И. Мальцевым были доказаны следующие утверждения (см. [5]). 1) Всякое нильмногообразие M = G/H диффеоморфно [img: http://localhost:8080/file/051938-11.jpg] где М*- компактное нильмногообразие. 2) Если Мкомпактно и действие G на Мэффективно, то стационарная подгруппа H является дискретной подгруппой.3) Нильпотентная группа Ли. может транзитивно и локально эффективно действовать на нек-ром компактном многообразии тогда и только тогда, когда ее алгебра Ли [img: http://localhost:8080/file/051938-12.jpg] имеет [img: http://localhost:8080/file/051938-13.jpg] -форму. При этом если Gодносвязна, то она изоморфна унипотентной алгебраич. группе, определенной над [img: http://localhost:8080/file/051938-14.jpg] и Нявляется арифметич. подгруппой в G.4) Фундаментальная группа [img: http://localhost:8080/file/051938-15.jpg] компактного нильмногообразия М(изоморфная Н, если Gодносвязна и ее действие на Млокально эффективно) определяет его однозначно с точностью до диффеоморфизма. Фигурирующие здесь группы [img: http://localhost:8080/file/051938-16.jpg] - это в точности всевозможные конечно порожденные нильпотентные группы без кручения. Эти результаты отчасти обобщаются на произвольные С. Так, для произвольного С. Мсуществует С. М', конечнолистно накрывающее его и диффеоморфное [img: http://localhost:8080/file/051938-17.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051938-18.jpg] где М* - нек-рое компактное С. Произвольное С. не всегда разлагается в прямое произведение [img: http://localhost:8080/file/051938-19.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051938-20.jpg] но диффеоморфно (см. [1], [4]) пространству векторного расслоения над нек-рым компактным С. (для Mb соответствующим расслоением является нетривиальное линейное расслоение над S1). Фундаментальная группа [img: http://localhost:8080/file/051938-21.jpg] произвольного С. Мполициклична и, если Мкомпактно, определяет многообразие однозначно с точностью до диффеоморфизма. Группа [img: http://localhost:8080/file/051938-22.jpg] изоморфна [img: http://localhost:8080/file/051938-23.jpg] для нек-рого компактного С. Мтогда и только тогда, когда она включается в точную последовательность вида [img: http://localhost:8080/file/051938-24.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051938-25.jpg] - нек-рая конечно порожденная нильпотентная группа без кручения. В каждой полициклич. группе существует подгруппа конечного индекса, изоморфная [img: http://localhost:8080/file/051938-26.jpg] для нек-рого компактного С. М. Если разрешимая группа Ли Gдействует на компактном С. M=GlH транзитивно и локально эффективно, то. расслаивается над тором со слоем [img: http://localhost:8080/file/051938-27.jpg] где N - нильрадикал в С. Компактность С. M=G/Н эквивалентна наличию на MG- инвариантной меры, относительно к-рой объем Мконечен. Каждое С. Масферично (т. с. гомотопич. группы [img: http://localhost:8080/file/051938-28.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/051938-29.jpg] Среди всех компактных однородных пространств компактные С. характеризуются асферичностью и разрешимостью группы [img: http://localhost:8080/file/051938-30.jpg] (см. [3]).