Сопряженные гармонические функции

гармонически сопряженные функции,- пара действительных гармонич. функций (г. ф.). и v, являющихся действительной и мнимой частями нек-рой аналитич. ции f=u+iv комплексного аргумента. В случае одного комплексного переменного z=x+iy г. ф. u=и(х, у)и v=v(x, у) являются С. г. ф. в области Dкомплексной плоскости С тогда и только тогда, когда они удовлетворяют в Dсистеме уравнений Коши - Римана [img: http://localhost:8080/file/051939-95.jpg] В системе (1) роль г. ф. ии. не симметрична: функция г является сопряженной для и, но для vсопряженной будет не и, а - и. Если задана г. ф. и=и(х, у), то С. г. ф. v=v(x, у)и вся аналитич. ция f=u+iv легко определяются с точностью до чисто мнимого постоянного слагаемого ic;это можно сделать, напр., по формуле Гурса [img: http://localhost:8080/file/051939-96.jpg] в окрестности нек-рой точки [img: http://localhost:8080/file/051939-97.jpg] из области определения и. В случае многих комплексных переменных z=x+iy=(z1,..., zn)=(x1,..., xn)+i(y,..., у n), п>1, система Коши - Римана становится переопределенной: [img: http://localhost:8080/file/051939-98.jpg] Из (3) вытекает, что при n>1 функция иуже не может быть задана как произвольная г. ф.- она должна принадлежать подклассу плюригармонических функций;сопряженную плюригармонич. функцию vможно и в этом случае найти по формуле (2). Известны различные аналоги системы С. г. ф. (и, v)в виде вектор-функции f=(ul,...,um), компоненты к-рой uj=uj(xi,..., х n)суть действительные функции действительных переменных xl,..., х п. Такова, напр., градиентная система f=(u1,..., и n), удовлетворяющая обобщенной системе уравнений Коши - Римана [img: http://localhost:8080/file/051939-99.jpg] к-рая записывается также в сокращенном виде: divf=0, rotf = 0. Если условия (4) выполняются в области Dевклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/051939-100.jpg] гомеоморфной шару, то существует г. ф. hв Dтакая, что f=gradh. При п=2 получают, что u2+iu1 есть аналитич. ция переменного z= =x1+ix2. Поведение решений системы (4) в нек-рых вопросах аналогично системе Коши - Римана (1), напр. при изучении граничных свойств (см. [3]).