Сопряженный модуль

двойственный модуль, дуальный модуль,- модуль гомоморфизмов модуля в основное кольцо. Точнее, пусть М- левый модуль над кольцом R. Абелеву группу HomR (М, R)гомоморфизмов модуля Мв левый R-модуль Rможно превратить в правый R-модуль М*, полагая [img: http://localhost:8080/file/051939-135.jpg] Этот правый модуль М* наз. С. м. модуля М. Если [img: http://localhost:8080/file/051939-136.jpg] то можно определить элемент [img: http://localhost:8080/file/051939-137.jpg] положив [img: http://localhost:8080/file/051939-138.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/051939-139.jpg] Этим определяется гомоморфизм модуля Мв М**. Гомоморфизмом является и отображение [img: http://localhost:8080/file/051939-140.jpg] (С - левый R-модуль), определяемое равенством [img: http://localhost:8080/file/051939-141.jpg] Оба эти гомоморфизма являются изоморфизмами, если М- конечно порожденный проективный модуль [2]. Из свойств функтора Ноm вытекает изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/051939-142.jpg] - прямая сумма, II - прямое произведение) и существование гомоморфизма М*** в М*. Сквозное отображение [img: http://localhost:8080/file/051939-143.jpg] является тождественным. Однако М*** не обязательно изоморфен М*. Важными являются и модули без кручения в смысле Басса, т. е. модули, для к-рых указанный выше гомоморфизм Мв М** оказывается мономорфизмом. Это свойство равносильно вложимости модуля Мв прямое произведение нек-рого множества экземпляров основного кольца. Если R нётерово справа и слева, то отображение [img: http://localhost:8080/file/051939-144.jpg] осуществляет двойственность между категориями всех левых и всех правых конечно порожденных R-модулей тогда и только тогда, когда R квазифробениусово.