Софокусные кривые

конфокальные кривые,- линии 2-го порядка, имеющие общие фокусы. Если Fи F' - две данные точки плоскости, то через каждую точку плоскости проходит один эллипс и одна гипербола, имеющие Fи F' своими фокусами (рис. 1). Каждый эллипс ортогонален любой софокусной с ним гиперболе, т. е. пересекается с ней (в четырех точках) под прямым углом. Все множество софокусных эллипсов и гипербол в надлежащей системе координат определяется уравнением [img: http://localhost:8080/file/051940-158.jpg] где с - расстояние фокусов от начала координат, а [img: http://localhost:8080/file/051940-159.jpg] - переменный параметр. При [img: http://localhost:8080/file/051940-160.jpg] это уравнение определяет эллипс, при [img: http://localhost:8080/file/051940-161.jpg] - гиперболу (при [img: http://localhost:8080/file/051940-162.jpg] -мнимую линию 2-го порядка). Если один из фокусов стремится к бесконечности, то в пределе получаются два семейства софокусных парабол (рис. 2); любые две параболы, относящиеся к разным семействам, также ортогональны друг другу. При помощи софокусных эллипсов и гипербол на плоскости вводится система так наз. эллиптических координат. [img: http://localhost:8080/file/051940-163.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051940-164.jpg] Именно, если М(х, у) - произвольная точка плоскости, то, подставляя ее координаты х и ув уравнение (*), получают квадратное уравнение для [img: http://localhost:8080/file/051940-165.jpg] корни его [img: http://localhost:8080/file/051940-166.jpg] и наз. эллиптич. координатами точки М. Сами софокусные эллипсы и гиперболы составляют координатную сеть эллиптической координатной системы, т. е. определяются уравнениями [img: http://localhost:8080/file/051940-167.jpg] БСЭ-З.