Спектр

оператора- совокупность [img: http://localhost:8080/file/051941-22.jpg] чисел [img: http://localhost:8080/file/051941-23.jpg] для к-рых оператор [img: http://localhost:8080/file/051941-24.jpg] не имеет всюду определенного ограниченного обратного. Здесь А - линейный оператор в комплексном банаховом пространстве Х, I- тождественный оператор в X. Если Ане замкнут в X, то [img: http://localhost:8080/file/051941-25.jpg] поэтому обычно рассматривают С. замкнутых операторов (для операторов, допускающих замыкание, иногда их С. наз. спектр замыкания). Если [img: http://localhost:8080/file/051941-26.jpg] не инъективен или не сюръективен, то [img: http://localhost:8080/file/051941-27.jpg] В первом случае [img: http://localhost:8080/file/051941-28.jpg] наз. собственным значением оператора А; совокупность [img: http://localhost:8080/file/051941-29.jpg] собственных значений наз. точечным спектром. Во втором случае [img: http://localhost:8080/file/051941-30.jpg] наз. точкой непрерывного спектра [img: http://localhost:8080/file/051941-31.jpg] или остаточного спектра [img: http://localhost:8080/file/051941-32.jpg] в зависимости от того, плотно или не плотно в Xподпространство [img: http://localhost:8080/file/051941-33.jpg] Существуют и другие классификации точек С., напр. [img: http://localhost:8080/file/051941-34.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051941-35.jpg] состоит из aппpoкcимативных собственных значений [img: http://localhost:8080/file/051941-36.jpg] если существуют [img: http://localhost:8080/file/051941-37.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051941-38.jpg] При атом [img: http://localhost:8080/file/051941-39.jpg] и, значит, [img: http://localhost:8080/file/051941-40.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051941-41.jpg] В теории возмущений рассматривается предельный спектр [img: http://localhost:8080/file/051941-42.jpg] состоящий из предельных точек [img: http://localhost:8080/file/051941-43.jpg] и изолированных собственных значений бесконечной кратности, вейлевский спектр, равный пересечению С. всех компактных возмущений, и др. Если оператор Аограничен, то [img: http://localhost:8080/file/051941-44.jpg] компактен и не пуст (в этом случае [img: http://localhost:8080/file/051941-45.jpg] совпадает со спектром элемента Абанаховой алгебры В(X)); в общем случае можно утверждать лишь, что [img: http://localhost:8080/file/051941-46.jpg] замкнут в [img: http://localhost:8080/file/051941-47.jpg] На множестве [img: http://localhost:8080/file/051941-48.jpg] определена аналитическая В(Х)-значная функция [img: http://localhost:8080/file/051941-49.jpg] наз. резольвентой [img: http://localhost:8080/file/051941-50.jpg] наз. резольвентным множеством). С помощью резольвенты строится функциональное исчисление от оператора Ана функциях, аналитических в окрестности [img: http://localhost:8080/file/051941-51.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051941-52.jpg] где Г - контур, охватывающий [img: http://localhost:8080/file/051941-53.jpg] (неограниченность Анакладывает на выбор Г нек-рые ограничения); дополнительные условия на геометрию С. и асимптотику резольвенты позволяют расширить это функциональное исчисление. С. функций от оператора определяются формулой [img: http://localhost:8080/file/051941-54.jpg] (теорема об отображении спектра); s (A*) сопряженного оператора совпадает с [img: http://localhost:8080/file/051941-55.jpg] если Аограничен, а в общем случае [img: http://localhost:8080/file/051941-56.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/051941-57.jpg] и X раскладывается в прямую сумму инвариантных относительно. подпространств, в каждом из к-рых Аиндуцирует оператор с одноточечным С.; поисками бесконечномерных аналогов такого разложения занимается спектральная теория операторов. См. также Спектральный анализ, Спектральный синтез, Спектральный оператор, Спектральное разложение.