Спектральная последовательность

последовательность дифференциальных модулей, каждый из к-рых является модулем гомологии предшествующего дифференциального модуля. Обычно рассматривают С. п. биградуированных (реже градуированных или триградуированных) модулей, к-рые изображают графически в виде наложенных друг на друга таблиц на плоскости. Более общо, рассматривают также С. п. объектов произвольной абелевой категории (напр., бимодулей, колец, алгебр, коалгебр, алгебр Хопфа и т. д.). Все известные С. п. получаются из точных пар. Точной парой (D1,Е 1,i1,j1,k1) наз. точная диаграмма вида [img: http://localhost:8080/file/051942-21.jpg] Гомоморфизм dl=j1ki является дифференциалом в Е 1. По каждой точной паре можно построить производную точную пару (D2,E2,i2,y2,k2), для к-рой D2=Im i1 и E2=H(E1, d1). Итерирование этой конструкции дает С. п. Е={E п, dn}. 1) С. п. Лере. Фильтрованный цепной комплекс модулей ({К р}, d)определяет точную пару биградуированных модулей Dlp,q=Hp+q(KP), E1q,q=Hp+q(KP/KP-1). В ассоциированной С. п. бистепень дифференциала dr равна (-r, r-1) и [img: http://localhost:8080/file/051942-22.jpg] Модули [img: http://localhost:8080/file/051942-23.jpg] образуют фильтрацию в H*(K). Биградуированный модуль [img: http://localhost:8080/file/051942-24.jpg] наз. присоединенным к Н * (К). Фильтрация {К р} наз. регулярной, если Kp=0 при р<0, [img: http://localhost:8080/file/051942-25.jpg] при q<0и [img: http://localhost:8080/file/051942-26.jpg] Для регулярной фильтрации [img: http://localhost:8080/file/051942-27.jpg] или р<0 или q<0; такая С. п. наз. С. п. первой четверти. Кроме того, [img: http://localhost:8080/file/051942-28.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051942-29.jpg] при r>max (р,q+1). В этом случае говорят, что С. п. сходится к Н * (К), и пишут [img: http://localhost:8080/file/051942-30.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051942-31.jpg] 2) С. п. Лере - Серра. Частный случай С. п. Лере возникает из цепного (или коцепного) комплекса фильтрованного топологич. пространства. Напр., фильтрация клеточного разбиения Xего остовами дает вырожденную С. п. [img: http://localhost:8080/file/051942-32.jpg] для к-рой [img: http://localhost:8080/file/051942-33.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051942-34.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/051942-35.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051942-36.jpg] С. п. Лере - Серра получается из фильтрации тотального пространства. расслоения в смысле Серра [img: http://localhost:8080/file/051942-37.jpg] прообразами р -1(В п)остовов В п базы В. Если слой Fи база Влинейно связны, то для каждой группы коэффициентов G это дает С. п. [img: http://localhost:8080/file/051942-38.jpg] с дифференциалами dr бистепени (- r, r-1), для к-рой [img: http://localhost:8080/file/051942-39.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051942-40.jpg] - система локальных коэффициентов над В, состоящая из групп Н q(F; G). При этом гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/051942-41.jpg] совпадает с композицией [img: http://localhost:8080/file/051942-42.jpg] а гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/051942-43.jpg] совпадает с композицией [img: http://localhost:8080/file/051942-44.jpg] где r достаточно велико. Дифференциал [img: http://localhost:8080/file/051942-45.jpg] С. п. совпадает с трансгрессией: [img: http://localhost:8080/file/051942-46.jpg] Этой гомологич. С. п. Лере - Серра двойственна когомологич. С. п. Лере - Серра [img: http://localhost:8080/file/051942-47.jpg] с дифференциалами dr бистепени (r, -r+1), для к-рой [img: http://localhost:8080/file/051942-48.jpg] Если Gявляется кольцом, токаждый член Е r является биградуированным кольцом, дифференциал dr является дифференцированием кольца Е r и умножение в Е r+1 индуцировано умножением в Е r. Если G - поле и база Водносвязна, то [img: http://localhost:8080/file/051942-49.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051942-50.jpg] 3) С. п. Атьи - Xирцебруха (- Уайтхеда) получается применением функтора обобщенных (ко)гомологий [img: http://localhost:8080/file/051942-51.jpg] к той же фильтрации пространства Е. В ее когомологич. варианте [img: http://localhost:8080/file/051942-52.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051942-53.jpg] В отличие от С. п. Лере - Серра С. п. Атьи - Хирцебруха для тривиального расслоения [img: http://localhost:8080/file/051942-54.jpg] вообще говоря, невырождена. 4) С. п. Эйленберга - Мура ассоциирована с каждым квадратом расслоений [img: http://localhost:8080/file/051942-55.jpg] В ее когомологич. варианте [img: http://localhost:8080/file/051942-56.jpg] Если R - поле и квадрат состоит из H-пространств и H-отображений, то эта С. п.- в категории биградуированных алгебр Хопфа. 5) С. п. Адамса [img: http://localhost:8080/file/051942-57.jpg] пишется для каждого простого [img: http://localhost:8080/file/051942-58.jpg] и любых пространств Xи Y(удовлетворяющих нек-рым условиям конечности). Для нее [img: http://localhost:8080/file/051942-59.jpg] где А р - Стинрода алгебра rnod p. Бистепень dr равна (r, r-1). Эта С. п. сходится в том смысле, что при r>s существует мономорфизм [img: http://localhost:8080/file/051942-60.jpg] и, значит, определена группа [img: http://localhost:8080/file/051942-61.jpg] Существует такая убывающая фильтрация {Fs} группы {Y, X} стабильных гомотопич. классов отображении [img: http://localhost:8080/file/051942-62.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/051942-63.jpg] а [img: http://localhost:8080/file/051942-64.jpg] состоит из всех элементов группы {Y, X} конечного порядка, взаимно простого с р. Эта С. п. при Х=Y=S позволяет лв принципе