Спектральная теория

дифференциальных операторов - раздел общей спектральной теории операторов, к-рый изучает спектральные свойства дифференциальных операторов в различных пространствах функций, особенно в гильбертовых пространствах измеримых функций. Пусть [img: http://localhost:8080/file/051942-65.jpg] - область в [img: http://localhost:8080/file/051942-66.jpg] - ее граница, [img: http://localhost:8080/file/051942-67.jpg] - линейный дифференциальный оператор (д. о.), и [img: http://localhost:8080/file/051942-68.jpg] - краевые условия, заданные линейными д. о. lj. Здесь [img: http://localhost:8080/file/051942-69.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051942-70.jpg] - неотрицательные целые числа, [img: http://localhost:8080/file/051942-71.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051942-72.jpg] а функции [img: http://localhost:8080/file/051942-73.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051942-74.jpg] определены в [img: http://localhost:8080/file/051942-75.jpg] и Г соответственно. В дальнейшем везде, где нет особых оговорок, предполагается, что [img: http://localhost:8080/file/051942-76.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051942-77.jpg] -достаточно гладкие функции при n>1 и [img: http://localhost:8080/file/051942-78.jpg] при всех [img: http://localhost:8080/file/051942-79.jpg] если n = 1 и [img: http://localhost:8080/file/051942-80.jpg] Самосопряженные расширения д. о. Пусть L'0 - д. о., к-рый задается выражением (1) на функциях из [img: http://localhost:8080/file/051942-81.jpg] т. е. имеющих производные любого порядка и обращающихся в нуль вне компакта, лежащего внутри [img: http://localhost:8080/file/051942-82.jpg] Если для любой пары функций и(х)и v(х)из [img: http://localhost:8080/file/051942-83.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051942-84.jpg] то L'0 наз. симметрическим д. о., а l - формально самосопряженным д. о. Пусть L0- замыкание д. о. L'0 в [img: http://localhost:8080/file/051942-85.jpg] Тогда д. о. L0 и сопряженный к нему L0 соответственно наз. минимальным и максимальным операторами, порожденными l(x, D); L*0 - расширение д. о. L0. Важной задачей теории д. о. является описание L0 и L*0. а также всех самосопряженных расширений д. о. L0. Здесь можно применять абстрактную теорию расширений симметрич. операторов. Однако для д. о. самосопряженные расширения часто удается описать в терминах граничных условий. Пусть [img: http://localhost:8080/file/051942-86.jpg] - дефектные подпространства оператора L0. Если dim [img: http://localhost:8080/file/051942-87.jpg] то L0=L*0, и д. о. L*0 наз. существенно самосопряженным. Любые из следующих условий достаточны для существенной самосопряженности д. о. L'0 в [img: http://localhost:8080/file/051942-88.jpg] Формально самосопряженный д. о. l(x, D)имеет вид [img: http://localhost:8080/file/051942-89.jpg] с действительными коэффициентами, и L'0 ограничен снизу; имеет вид (5), является эллиптическим, aik- постоянные, [img: http://localhost:8080/file/051942-90.jpg] монотонно не убывает и интеграл [img: http://localhost:8080/file/051942-91.jpg] имеет постоянные и действительные коэффициенты; имеет ограниченные коэффициенты, а главный член - эллиптич. типа с действительными и постоянными коэффициентами. Пусть д. о. L0 имеет конечные индексы дефекта [img: http://localhost:8080/file/051942-92.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051942-93.jpg] что является характерным для обыкновенных д. о. В этом случае числа [img: http://localhost:8080/file/051942-94.jpg] совпадают с размерностями подпространств решений уравнений [img: http://localhost:8080/file/051942-95.jpg] из L2(a, b). Поэтому [img: http://localhost:8080/file/051942-96.jpg] и вычисление индексов дефекта д. о. связано с качественной теорией и асимптотич. методами обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть [img: http://localhost:8080/file/051942-97.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/051942-98.jpg] то д. о. L'0 не имеет ни одного самосопряженного расширения. Если n+ = n- = k, то для самосопряженности расширений д. о. L'0 надо задавать kграничных условий и они полностью описаны. Граничные условия принимают простой вид, когда выражение L'0 имеет два регулярных конца или имеет один регулярный конец, но т= =2k, [img: http://localhost:8080/file/051942-99.jpg] Конец аназ. регулярны м, если [img: http://localhost:8080/file/051942-100.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051942-101.jpg] суммируемы на [img: http://localhost:8080/file/051942-102.jpg] при любом [img: http://localhost:8080/file/051942-103.jpg] Имеются примеры д. о. с частными производными в [img: http://localhost:8080/file/051942-104.jpg] с разрывными коэффициентами и с конечными индексами дефекта, но их теория еще слабо развита. В терминах граничных условий описаны не все самосопряженные расширения симметрии, д. о. с частными производными в ограниченной области, но описаны разнообразные расширения с заданными свойствами. Пусть l - формально самосопряженный эллиптический д. о. четного порядка т =2k с действительными коэффициентами, [img: http://localhost:8080/file/051942-105.jpg] - множество всех функций, имеющих производные любого порядка в ограниченной замкнутой области [img: http://localhost:8080/file/051942-106.jpg] и удовлетворяющих краевым условиям типа Дирихле [img: http://localhost:8080/file/051942-107.jpg] Тогда д. о., определенный выражением lс областью определения [img: http://localhost:8080/file/051942-108.jpg] является симметрическим, а его замыкание Lm- самосопряженным. Имеются другие примеры конкретных самосопряженных краевых условий для д. о., из них наиболее полно изучены д. о. 2-го порядка с краевыми условиями типа Дирихле. Неймана и третьего рода. Спектральный анализ самосопряженного д. о. Всякий самосопряженный д. о. Lдопускает спектральное разложение вида [img: http://localhost:8080/file/051942-109.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051942-110.jpg] - разложение единицы (ортогональное семейство проекторов). Однако общая формула не дает непосредственного разложения по собственным функциям конкретных самосопряженных д. о., и поэтому важно уметь семейство [img: http://localhost:8080/file/051942-111.jpg] выразить с помощью собственных функций. Если самосопряженный д. о.. имеет дискретный спектр [img: http://localhost:8080/file/051942-112.jpg] с соответствующими ортонормированными собственными функциями [img: http://localhost:8080/file/051942-113.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/051942-114.jpg] - интегральный оператор с (спектральным) ядром [img: http://localhost:8080/file/051942-115.jpg] При наличии непрерывного спектра у д. о. вопрос становится сложным: для непрерывного спектра нет собственных функции из [img: http://localhost:8080/file/051942-116.jpg] Однако имеют место следующие результаты. Пусть L - самосопряженный обыкновенный д. о. вида (1) в [img: http://localhost:8080/file/051942-117.jpg] - фундаментальная система решений уравнения [img: http://localhost:8080/file/051942-118.jpg] Тогда существует монотонная матричная функция [img: http://localhost:8080/file/051942-119.jpg] (спектральная мера) такая, что разложение единицы [img: http://localhost:8080/file/051942-120.jpg] д. о. Lзадается ядром [img: http://localhost:8080/file/051942-121.jpg] Далее, для любой функции f(х)из [img: http://localhost:8080/file/051942-122.jpg] интеграл [img: http://localhost:8080/file/051942-123.jpg] сходится в пространстве вектор-функций [img: http://localhost:8080/file/051942-124.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051942-125.jpg] порожденном мерой [img: http://localhost:8080/file/051942-126.jpg] и обратно, интеграл [img: http://localhost:8080/file/051942-127.jpg] сходится к f(х)в [img: http://localhost:8080/file/051942-128.jpg] Если выражение (1) имеет один регулярный конец аи т =2k, а индексы дефекта [img: http://localhost:8080/file/051942-129.jpg] то функции [img: http://localhost:8080/file/051942-130.jpg] выбираются так, чтобы они образовали фундаментальную систему в классе решений уравнения [img: http://localhost:8080/file/051942-131.jpg] удовлетворяющих краевым условиям в а, и в этом случае порядок спектральной меры будет равен k. Пусть L - самосопряженный эллиптич. д. о. в [img: http://localhost:8080/file/051942-132.jpg] Тогда его разложение единицы Е - интегральный оператор с ядром [img: http://localhost:8080/file/051942-133.jpg] и существует неубывающая функция [img: http://localhost:8080/file/051942-134.jpg] такая, что для любых чисел [img: http://localhost:8080/file/051942-137.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051942-135.jpg] имеет место [img: http://localhost:8080/file/051942-136.jpg] при этом при каждом [img: http://localhost:8080/file/051942-138.jpg] существует конечная или бесконечная система [img: http://localhost:8080/file/051942-139.jpg] решений уравнения [img: http://localhost:8080/file/051942-140.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051942-141.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051942-142.jpg] Для оператора Шрёдингера [img: http://localhost:8080/file/051942-143.jpg] при условии [img: http://localhost:8080/file/051942-144.jpg] ядро [img: http://localhost:8080/file/051942-145.jpg] явно выражается через решения задачи теории рассеяния. Для произвольных самосопряженных д. о. с частными производными также справедливы формулы (10), (11), в этом случае [img: http://localhost:8080/file/051942-146.jpg] могут быть обобщенными функциями, но конечного порядка. Характер сходимости разложения по собственным функциям д. о. и асимптотич. свойства спектрального ядра помогают в обосновании метода Фурье при решении уравнении математич. физики. Для обыкновенных д. о. имеет место следующий окончательный результат - теорема равносходимости: разложения заданной суммируемой функции по собственным функциям д. о., ограниченного снизу, и интеграл Фурье сходятся или расходятся в точке одновременно. Для д. о. с частными производными вопрос становится сложным. Качественная теория спектра д. о. занимается изучением природы спектра в зависимости от поведении коэффициентов, геометрии области и граничных условий. Имеется серия признаков дискретности спектра д. о. Наиболее общим является следующий критерий и его обобщения: если [img: http://localhost:8080/file/051942-147.jpg] то для дискретности спектра д. о., порожденного выражением lи = - и n+q(x). в [img: http://localhost:8080/file/051942-148.jpg] необходимо и достаточно, чтобы для любого j>0 [img: http://localhost:8080/file/051942-149.jpg] Для д. о. с частными производными обобщение этого критерия принимает более сложный вид. Имеются другие, более простые признаки дискретности спектра д. о., напр, самосопряженный д. о., порожденный выражением (5), будет иметь дискретный спектр, если [img: http://localhost:8080/file/051942-150.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/051942-151.jpg] самосопряженный д. о. Lm имеет дискретный спектр. Изучение природы спектра при наличии непрерывной части становится трудной задачей. Вот нек-рые результаты: 1) если обыкновенный д. о. определяется формально самосопряженным выражением (1) с периодич. коэффициентами на [img: http://localhost:8080/file/051942-152.jpg] с общим периодом, то его спектр непрерывный и состоит из последовательности непересекающихся интервалов, концы к-рых стремятся к [img: http://localhost:8080/file/051942-153.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/051942-154.jpg] 2) если д. о. определяется выражением [img: http://localhost:8080/file/051942-155.jpg] и lim q(x)=0, [img: http://localhost:8080/file/051942-156.jpg] непрерывный спектр его заполняет [img: http://localhost:8080/file/051942-157.jpg] а отрицательный спектр дискретный и может иметь предельную точку в нуле. Если k=1, [img: http://localhost:8080/file/051942-158.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051942-159.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051942-160.jpg] то отрицательный спектр будет конечным (на непрерывном спектре нет собственных значений). Природа спектра зависит также от граничных условий. В ограниченной области описаны конкретные граничные условия, при выполнении к-рых самосопряженный д. о. Лапласа имеет непрерывную часть спектра. Это - результат бесконечности индексов дефекта минимального д. о. Лапласа в области сграницей. Функции от самосопряженного д. о. изучаются с целью решения смешанных задач для дифференциальных уравнений, а также для внутренних задач теории д. о. Пусть L - эллиптич. д. о. порядка т. Хорошо изучена резольвента [img: http://localhost:8080/file/051942-161.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/051942-162.jpg] и функции ехр (-Lt)и [img: http://localhost:8080/file/051942-163.jpg] при t>0. Последние являются разрешающими операторами для обобщенного уравнения теплопроводности uf=-Lu, и (0, x)=f(x)и обобщенного волнового уравнения [img: http://localhost:8080/file/051942-164.jpg] u(0,x)=f(x). Все три оператор-функции являются интегральными с ядрами [img: http://localhost:8080/file/051942-165.jpg] (функции Грина) соответственно. Формула [img: http://localhost:8080/file/051942-166.jpg] устанавливает связь между Rи К. Нек-рые свойства [img: http://localhost:8080/file/051942-167.jpg] если L - эллиптический самосопряженный д. о. порядка тв [img: http://localhost:8080/file/051942-168.jpg] то при р>п/2топератору [img: http://localhost:8080/file/051942-169.jpg] отвечает ядро типа Карлемана; при р>n/т оператор [img: http://localhost:8080/file/051942-170.jpg] является ядерным и поэтому [img: http://localhost:8080/file/051942-171.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051942-172.jpg] - собственные значения д. о. L т. Имеются и другие признаки ядерности оператора [img: http://localhost:8080/file/051942-173.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/051942-174.jpg] Аналитич. и асимптотич. свойства функций Грина дают полезную информацию о спектральных характеристиках д. о. L. Напр., если в (13) известно поведение [img: http://localhost:8080/file/051942-175.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/051942-176.jpg] то применение тауберовых теорем позволяет найти асимптотику [img: http://localhost:8080/file/051942-177.jpg] То же самое удается, если известна асимптотика S р ехр (-Lt)при [img: http://localhost:8080/file/051942-178.jpg] Асимптотика [img: http://localhost:8080/file/051942-179.jpg] и K(x, у, t)устанавливается, напр., методом параметрикс, методом потенциалов и т. д. Так, на этом пути удалось найти асимптотику [img: http://localhost:8080/file/051942-180.jpg] для обширного класса эллиптич. д. о. Для определения асимптотики спектрального ядра [img: http://localhost:8080/file/051942-181.jpg] эллиптич. д. о. оказалось эффективным изучение асимптотики ядра G(х, у, t)при [img: http://localhost:8080/file/051942-182.jpg] с дальнейшим применением различных тауберовых теорем. В частности, при х=у, [img: http://localhost:8080/file/051942-183.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051942-184.jpg] Несамосопряженные д. о. Наиболее полные результаты имеются для обыкновенных д. о. на конечном отрезке. Пусть д. о. Lопределяется выражением (1) при n=1, а т (х)=1на функциях, имеющих (т-1) абсолютно непрерывные производные и удовлетворяющие краевым условиям: [img: http://localhost:8080/file/051942-185.jpg] Здесь [img: http://localhost:8080/file/051942-186.jpg] и числа av, bv одновременно не равны нулю. Пусть краевые условия (2) являются регулярными. Таковыми будут краевые условия типа Штурма - Лиувилля [img: http://localhost:8080/file/051942-187.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051942-188.jpg] и периодич. типа [img: http://localhost:8080/file/051942-189.jpg] Тогда д. о. Lимеет бесконечное число собственных значений, к-рые имеют точную асимптотику; система собственных и присоединенных функций д. о. Lполна в Lp(0,1); разложение функций f(x) из D(L)по собственным и присоединенным функциям д. о.. сходится равномерно на (0, 1). Факт полноты системы собственных и присоединенных функций имеет место также при нек-рых нерегулярных краевых условиях, в частности типа распадающихся [img: http://localhost:8080/file/051942-190.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051942-191.jpg] однако сходимость разложения в ряд по собственным и присоединенным функциям справедлива только для узкого класса (l- аналитических) функций. Пусть L0- самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве Н - имеет собственные значения [img: http://localhost:8080/file/051942-192.jpg] и при нек-ром р>0 оператор [img: http://localhost:8080/file/051942-193.jpg] является ядерным. Пусть L1- другой оператор такой, что [img: http://localhost:8080/file/051942-194.jpg] является вполне непрерывным. Тогда система собственных и присоединенных векторов оператора L0+L1 полна в. (теорема Келдыша). Применение этой теоремы дает классы д. о., к-рые имеют полную систему собственных и присоединенных функций. Пусть Lm- д. о. в [img: http://localhost:8080/file/051942-195.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051942-196.jpg] тогда система собственных и присоединенных функций для д. о. Lm+L1 полна в [img: http://localhost:8080/file/051942-197.jpg] Однако разложение функции в ряд по этой системе, вообще говоря, расходится и суммируется со скобками по обобщенному методу Абеля. Если область [img: http://localhost:8080/file/051942-198.jpg] неограничена, то для выполнения условий теоремы Келдыша надо налагать дополнительные условия на рост коэффициентных функций д. о. Мало изучены несамосопряженные д. о. с непрерывной частью спектра. Это связано с тем, что для них нет аналога теоремы о спектральном разложении. Исключение составляет д. o., порожденный выражением [img: http://localhost:8080/file/051942-199.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/051942-200.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/051942-201.jpg] с комплекснозначной функцией q(x). Пусть [img: http://localhost:8080/file/051942-202.jpg] является решением уравнения [img: http://localhost:8080/file/051942-203.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/051942-204.jpg] и удовлетворяет начальным условиям [img: http://localhost:8080/file/051942-205.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051943-1.jpg] Пусть f1(x) и f2 (х) - финитные функции из [img: http://localhost:8080/file/051943-2.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051943-3.jpg] Тоща существует линейный функционал. на линейном топологич. пространстве Gтакой, что [img: http://localhost:8080/file/051943-5.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051943-4.jpg] Пространство G- множество всех целых четных функций первого порядка роста конечного типа, суммируемых на действительной оси. Если [img: http://localhost:8080/file/051943-6.jpg] то Rявно вычисляется. В этом случае на непрерывном спектре появляются спектральные особенности - полюсы ядра резольвенты, к-рые не являются собственными значениями д. о. Спектральные особенности присущи несамосопряженным операторам и из-за них вопросы разложения (и его сходимость) по собственным функциям принимают более сложный характер. Для д. о. [img: http://localhost:8080/file/051943-7.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/051943-8.jpg] в предположении, что комплексная функция q(x)убывает экспоненциально, также найден вид спектрального разложения через решение задачи теории рассеяния с учетом влияния спектральных особенностей. В обратных задачах спектрального анализа требуется определение д. о. по нек-рым спектральным характеристикам. Полностью решены задачи определения одномерных дифференциальных уравнении Шрёдингера и систем типа Дирака по спектрам различных расширений, по спектральной мере, по данным рассеяния, т. е. по асимптотич. поведению нормированных собственных функций, и т. д. Обратные задачи нашли приложение в интегрировании нелинейных уравнений. С. т. дифференциальных операторов возникла в связи с исследованиями колебания струны и вызвала к жизни теорию ортогональных разложений (18-19 вв.). Систематич. изучение самосопряженного д. о. 2-го порядка на конечном отрезке начинается с 1830 (Штурма - Лиувилля задача) и в 19 в. было предметом многих исследований, в частности в связи с теорией специальных функций. Однако замкнутость системы собственных функций д. о. Штурма - Лиувилля была доказана только в 1896, тогда же изучен и характер сходимости разложения по собственным функциям. Теория сингулярных д. о. берет свое начало в 1909- 1910, когда было найдено спектральное разложение самосопряженного неограниченного д. о. 2-го порядка с произвольной структурой спектра и, по существу, введено понятие индекса дефекта и получены первые результаты по теории расширений. Интерес к сингулярным д. о. возрос с 1920 с возникновением квантовой механики. Систематич. исследование несамосопряженных сингулярных д. о. началось с 1950, когда были заложены основы теории операторных пучков и указан метод доказательства полноты системы собственных и присоединенных функций для д. о.