Специальная линейная группа

степени пнад кольцом R - подгруппа SL(n,R)полной линейной группы GL(п,R), являющаяся ядром гомоморфизма (т. н. определителя) detn. Строение группы SL(n,R)зависит от кольца R, степени n и типа определителя, заданного на GL(n,R). Существуют три основных типа определителя, относительно к-рого рассматриваются группы SL(п,R): обычный определитель в случае, когда R - коммутативное кольцо, некоммутативный определитель Дьёдонне, если R - тело (см. [1]), и гомоморфизм приведенной нормы - для конечномерных над своим центром тел R (см. [2]). С группой SL(n,R)обычно связывают следующие группы: группу Е(п,R), порожденную элементарными матрицами [img: http://localhost:8080/file/051945-144.jpg] (см. Алгебраическая К-теория), а также для каждого двустороннего идеала qкольца R конгруэнц-подгруппу SL(п, R, q)и группу Е(п, R, q) - нормальный делитель Е(п, R), порожденный матрицами [img: http://localhost:8080/file/051945-145.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/051945-146.jpg] Пусть - [img: http://localhost:8080/file/051945-147.jpg] вложение Е(п, R, q) в E(n+1,R, q). Тогда переход к прямому пределу приводит к группе Е(R, q). Аналогично определяется группа SL(R, q). Для q=R вместо E(R, R) и SL(R, R) пишут соответственно Е(R)и SL(R); последняя группа наз. стабильной специальной линейной группой кольца Л. Нормальное строение SL(R), тесно связанное со строением групп SL(п, R), таково. Группа Нявляется нормальным делителем SL(R) тогда и только тогда, когда для нек-рого (причем единственного) двустороннего идеала qкольца R имеют место включения [img: http://localhost:8080/file/051945-148.jpg] Таким образом, абелевы группы [img: http://localhost:8080/file/051945-149.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051945-150.jpg] классифицируют нормальные делители SL(R). Группа SK1(R)=SK1(R, R) наз. приведенной группой Уайтхеда кольца R. Удовлетворительное описание нормального строения группы SL(n, R) в случае произвольного кольца R связано с условием стабильности ранга идеала q(st. r. q). Именно, если [img: http://localhost:8080/file/051945-151.jpg] то имеет место изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/051945-152.jpg] Кроме того, если выполнено условие [img: http://localhost:8080/file/051945-153.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051945-154.jpg] то для всякого нормального делителя Нгруппы SL(n,R)при подходящем qимеют место включения [img: http://localhost:8080/file/051945-155.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051945-156.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051945-157.jpg] - прообраз центра группы [img: http://localhost:8080/file/051945-158.jpg] Для специальных колец имеются окончательные результаты (см., напр., [2], [4]). В случае некоммутативного определителя Дьёдонне результаты имеют исчерпывающий характер. Группы SL(n, R) и Е(п, R) совпадают. SL(n, R) - коммутант группы GL(n, R), за исключением случая SL(2,F2)(Fq - поле из qэлементов). Центр Zn, группы SL(n, R)состоит из скалярных матриц [img: http://localhost:8080/file/051945-159.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051945-160.jpg] - элемент центра R и [img: http://localhost:8080/file/051945-161.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/051945-162.jpg] - коммутант мультипликативной группы R* тела R. Факторгруппа SL(n, R)/Zn проста, за исключением случая n=2,R=F2, F3. В случае п=2 SL(2, F2)=SL(2, F2)/Z2 и группа SL(2, F2) изоморфна симметрич. группе S3 степени 3, а группа SL(2, F3)/Z3 изоморфна знакопеременной группе A4 степени 4. Если detn - гомоморфизм приведенной нормы, то всегда [img: http://localhost:8080/file/051945-163.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/051945-164.jpg] причем для полей Л группа SK1(R) тривиальна Долгое время существовала гипотеза, что SK'1(R)={0} для произвольного тела R. Однако в 1975 показано, что это не так (см. [5]). Группы SK1(R) играют важную роль в алгебраич. геометрии (см. [6], [7]). Имеются также нек-рые обобщения гомоморфизма приведенной нормы, что стимулировало ряд новых исследований по С. л. г.