Специальный автоморфизм

построенный по автоморфизму S пространства с мерой(X, v)и функции f (заданной на Xи принимающей положительные целочисленные значения),- автоморфизм Тнек-рого нового пространства с мерой [img: http://localhost:8080/file/051946-1.jpg] строящийся следующим образом. Точки Мсуть пары (х, п), где [img: http://localhost:8080/file/051946-2.jpg] и пцелое, [img: http://localhost:8080/file/051946-3.jpg] при этом Мснабжается очевидной мерой [img: http://localhost:8080/file/051946-4.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/051946-5.jpg] и f(x)>n при всех [img: http://localhost:8080/file/051946-6.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/051946-7.jpg] [img: http://localhost:8080/file/051946-8.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/051946-9.jpg] то эту меру обычно еще нормируют. Преобразование Тувеличивает вторую координату точки (х, п)на единицу, если n+1<f (х). т. е. если при этом точка не выходит из М;в противном случае Т(х, n)=(Sx,0). Преобразование Токазывается автоморфизмом пространства с мерой [img: http://localhost:8080/file/051946-10.jpg] Описанная конструкция часто применяется в эргодической теории при построении различных примеров. С другой стороны, роль С. а. ясна из следующего. Отождествляя точку [img: http://localhost:8080/file/051946-11.jpg] с (х,0), можно считать, что [img: http://localhost:8080/file/051946-12.jpg] Тогда f(x)есть время, за к-рое точка, находившаяся вначале в X и двигающаяся под действием каскада { Т п}, возвращается снова в X,a Sесть производный автоморфизм Т X. Таким образом, с помощью С. а. как бы восстанавливают траектории динамич. системы во всем фазовом пространстве, наблюдая только прохождения движущейся точки через множество X. Д. В. Aносов.